[理学]高等代数课件北大版第五章二次型§52.ppt

数学与计算科学学院 二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型 它的矩阵是对角阵 例3　用合同变换求下面二次型的标准形 三、小结 1、二次型的标准形 注意： i）若a11≠0，作合同变换：将A的第一行的 倍 加到第 j 行，再将所得矩阵的第一列的 倍加到 第 j 列, j=2,3,….n 则 合同变换化对称矩阵 为对角阵D时 ii) 若a11=0，而有某个aii ≠0，作合同变换： 互换1, i 两行，再互换1, i 两列，所得矩阵的第1行 第1列处元素为aii ≠0，转为情形i)，即 iii) 若aii=0, i=1,2,…n.则必有某个aij≠0(i ≠j)，作合同变换： iv) 对 i）中A1重复上述做法. 将第 j 行加到第 i 行，再将第 j 列加到第 i 列，所得矩阵第 i 行第 i 列处元素为2aij ≠0. 转为情形ii). r1+r2 c1+c2 （同例1） 解： 的矩阵为 r3+r1 r2－　r1 c3+c1 c2－　c1 －2r2 －2c2 c3+2c2 r3+2r2 作非退化线性替换X=CY, 则二次型化为标准形 令 则 　　①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍 为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对 称性－－可利用这一点检查计算是否正确.） 　　②对A作合同变换时，无论先作行变换还是 先作列变换，结果是一致的. 　　③可连续作n次初等行（列）变换后，再依次作n次相应的初等列（行）变换. 说明： * * 第五章 二次型 §5.1 二次型的矩阵表示 §5.2 标准形 §5.3 唯一性 §5.4 正定二次型 章小结与习题 一、二次型的标准形 二、合同的变换法 三、小结 §5.2 标准形 平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？ 任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成 ? 证明： 对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立. 一、二次型的标准形 过非退化线性替换化成平方和的形式.　 1、（定理1）数域P上任一二次型都可经 n=1时， 结论成立. 下面考虑n元二次型 这里， 是一个. 的n－1元二次型. 配方法 它是非退化的， 且使 使它变成平方和 于是，非退化线性替换 由归纳假设，对 有非退化线性替换 就使 变成 2） 但至少有一个 不妨设 作非退化线性替换： 不为零. 由情形1）知，结论成立. 则 这是一个 的二次型，且 的系数 这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性 替换化成平方和的形式. 即 3） 由对称性， 2、二次型的标准形的定义 所变成的平方和形式 注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形. 二次型 经过非退化线性替换 的一个标准形. 称为 则 解：作非退化线性替换 例1、求 的标准形. 或 最后令 则 或 再令 所作的非退化线性替换是 即 则 3、（定理2）数域P上任一对称矩阵合同于 证：对A的级数作归纳法. 假定对n－1级对称矩阵结论成立，考虑n级矩阵A， 分四种情形讨论： 使C′AC为对角矩阵． 即　　　　 若 A′＝A ，则存在可逆矩阵 n＝1时， 为对角阵,结论成立. 设 一个对角矩阵. 这里 这里 A1为n－1级对称矩阵. 则 这里 是n－1级对称矩阵， 为对角矩阵. 由归纳假设，存在可逆矩阵G，使 为对角矩阵. 令 则 令 则C可逆，且 为对角矩阵. 其中 归结为情形1，结论成立. 令 ，则 3) 但有一个 则 令 显然 2)　　　　 但有一个 归结为情形1）. 则 4) 由对称性, 有 于是 为n－1级对称矩阵. 为对角矩阵. 为对角矩阵. 由归纳假设，有n－1级可逆矩阵G，使 令　　　　　　则 例2　根据定理2，求例1中二次型的标准形. 情形3) 情形1) 令 解： 的矩阵为 情形1) 令 令 为对角矩阵. 作非退化线性替换X＝CY， 则 即得 　　　　　的标准形 二、合同的变换法 （1） 互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列; 1. 定义：合同变换是指下列三种变换 ??????????? （2） 以数 k（ ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘 （3） 将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列 ??的k倍加到第 列（ )