[理学]高等数学 第八章 第6节 多元函数的极值及其求法中央财经大学.pdf

第六节 多元函数的极值及其求法 一、二元函数的极值 二、二元函数的最值 三、条件极值 拉格朗日乘数法 极大值和极小值的定义 极大值和极小值的定义 设 u = f ( X) 在 n 内有定义. U( X ) ⊂ R 0 若 ˆ 总有 ∀X ∈U( X ) , 0 f ( X) f ( X ) ( f ( X) f ( X ) ) 0 0 则称 f ( X )为函数 f ( X) 的极大值(极小值). 0 X0 称为函数的极大值点(极小值点). 函数的极大值和极小值统称为函数的极值 . 函数的极大值和极小值统称为函数的极值 . 例1 函数z = 1− x2 − y2 在点 (0, 0) 处取极大值. 2 2 例2 函数 z = x + y 在点 (0 , 0) 处取极小值. 现在对已有的结果进行分析, 现在对已有的结果进行分析, 看能否得到一点什么 看能否得到一点什么. . 例1 函数z = 1− x2 − y2 在点 (0 , 0) 处取极大值. 进行分析： 上半单位球面 进行分析： 上半单位球面 函数 z = 1− x2 (即固定 y = 0) 在点 x = 0 处 取极大值, 由一元函数取极值的必要条件 有 , ∂z = 0 ∂x ( 0,0) 类似地 函数 z = 1 − y2 x = 0) y = 0 处 , (即固定 在点 由一元函数取极值的必要条件 有 取极大值, , ∂z = 0 ∂y ( 0,0) 2 2 例2 函数 z = x + y 在点 (0 , 0) 处取极小值. 进行分析： 上半空间中的圆锥面 进行分析： 上半空间中的圆锥面 函数 z =