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第十二章 微分方程 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 * 解 一、问题的提出 解 设制动t秒钟后列车才能仃住，在此期间列车又行驶了s=s(t)米, 因此有： 代入条件后知 故 开始制动到列车完全停住共需 由v=0可知， 微分方程: 凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程叫微分方程. 例 因此微分方程是联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 分类1: 常微分方程, 偏微分方程. 微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 一阶微分方程 高阶(n)微分方程 分类2: 分类3: 线性与非线性微分方程. 末知函数及末知函数的导数都是自变量x的一次函数是线性微分方程的必要条件（但不是充分条件）. 形如 的微分方程，称为线性微分方程。否则，称为非线性微分方程。 线性微分方程： 非线性微分方程： 分类4: 微分方程与微分方程组. 微分方程组: 微分方程: 微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. 微分方程的解的分类： 三、关于微分方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同. 因此， 是微分方程 =0 的解。 (2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件. 其解是过定点的一条积分曲线; 一阶: 二阶: 其解是过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 解 所求特解为 解： 例题： P(x,y) Q O x x y Y=f(x) 解： 例题： 解： 例题： 为所求的微分方程。 本章的重点：方程的求解 求解方程的一般方法： 1。判定方程的类型： 是一阶方程，二阶方程还是更高阶的方程？ 是一阶方程或二阶方程中的哪种标准类型？ 2。根据方程的类型确定合适的求解方法。 3。有时要通过适当的变量代换以后，才能使方程变换到可求解的标准形式。 题目的类型主要有三大类： 1。求方程的通解； 2。求方程满足初始条件的特解； 3。应用题—按题意，建立方程并求解。 一、可分离变量的微分方程 的方程称为可分离变量的微分方程. 为微分方程的解. 分离变量法 形如 解法： 例1 求解微分方程 解 分离变量 两端积分 二、典型例题 例2：求解微分方程 解： 两边积分，得解： 解 由题设条件 衰变规律 例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的流量为 流量系数 孔口截面面积 重力加速度 设在微小的时间间隔 水面的高度由h降至 , 比较(1)和(2)得: 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 所求规律为 解 例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少? 设鼓风机开动后 时刻 的含量为 在 内, 的通入量 的排出量 的通入量 的排出量 的改变量 6分钟后, 车间内 的百分比降低到 例6： P。334 7。 取O为原点，河岸朝顺水方向为x轴，y轴指向对岸。 并设小船的航行路线为y=y(x)，则小船的航行速度为： 代入初始条件y(0)=0,得C=0， 则所求航线为：