[理学]高等数学自考42换元积分法.ppt

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2018-03-08 发布于浙江
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[理学]高等数学自考42换元积分法.ppt

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[理学]高等数学自考42换元积分法

§2 换元积分法三、小结 * * 一、第一类换元积分法二、第二类换元积分法上一页下一页一、第一类换元积分法问题解决方法利用复合函数设置中间变量过程令则上一页下一页在一般情况下：如果则若（可微） ∵ ∴ （为中间变量）由此得上一页下一页定理4.1（第一换元积分法）设具有原函数可导，则是的原函数，即有换元公式说明：第一换元积分法也叫凑微分法，关键在与将数转化为形式，而的原函在基本积分表中能够找到. （凑微分法）上一页下一页例1 求解：凑微分将推广：上一页下一页例2 解：凑微分将还原上一页下一页例3 解：凑微分还原将上一页下一页例4 解：凑微分还原对换元公式熟练后，就不必再把写出来. 上一页下一页例5 解：同理可得例6 求解：上一页下一页求例7 求解：同理可得上一页下一页例8 解：求上一页下一页例9 解：求上一页下一页例10 求解法一解法二同样可得上述两个解都是正确的上一页下一页二、第二类换元积分法问题解决方法改变中间变量的设置方法过程令（应用凑微分既可求出）即当不易积分，作变量代换令后化为容易求得积分这种换元法习惯上叫做第二换元积分法. 上一页下一页定理4.2 是的原函数，即有换元公式：这里是的反函数. 设是单调可导的函数，并且则又设具有原函数，证明：所以上一页下一页例11 求解：令 tdt a dx 2 sec = T 上一页下一页例12 求解：令上一页下一页例13 求解：令上一页下一页说明(1) 以上几例所使用的均为三角代换. 三角代换的目的是化掉根式. 一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令上一页下一页说明(2) 积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换. 也可以化掉根式例中, 令上一页下一页积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定. 说明(3) 例14 求（三角代换很繁琐）令解：上一页下一页例15 求解：令上一页下一页说明(4) 当分母的阶较高时, 可采用倒代换例16 求令解：上一页下一页例17 求解：令（分母的阶较高）上一页下一页