2010年北京市宣武区高三一模试题解析[理科数学].doc

北京市宣武区 2009—2010学年度高三第二学期第一次质量检测 数 学 试 题（理） 2010．4 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟． 第Ⅰ卷（选择题 共40分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（宣武·理·题1） 设集合，则下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． D； ，，故，因此 2．（宣武·理·题2） 设平面向量，若，则等于（ ） A． B． C． D． A； ，则，从而 3．（宣武·理·题3） 若复数满足，则对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B； ． 4．（宣武·理·题4） 设函数，则其零点所在的区间为（ ） A．（0，1） B．（1，2） C．（2，3） D．（3，4） B； 在上单调增，，，故零点所在区间． 5．（宣武·理·题5） 若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（ ） A． B． C． D． B； 由，可得，∴． 6．（宣武·理·题6） 若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（ ） A． B． C． D． C； 由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得． 7．（宣武·理·题7） 某单位员工按年龄分为三级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为的样本，已知组中甲、乙二人均被抽到的概率是，则该单位员工总数为 （ ） A．110 B． C．90 D．80 B； 设员工总数为，则组人数为，由分层抽样知组中抽取的人数为，于是甲乙二人均被抽到的概率为，解得． 8．（宣武·理·题8） 设函数的定义域为，若对于给定的正数，定义函数， 则当函数时，定积分的值为（ ） A． B． C． D． D； 由题设，于是定积分． 第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．（宣武·理·题9） 把容量是的样本分成组，从第组到第组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是，那么第8组的频率是 ． ； ． 10．（宣武·理·题10） 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 ． 6； 几何体如图所示，正面为的正方形，侧面为直角梯形，两个底边长分别为和，因此不难算出体积为． 11．（宣武·理·题11） 若是上三点，切于点，，则的大小为 ． 解析：如图，弦切角，于是，从而． 12．（宣武·理·题12） 若直线与曲线（为参数，）有两个公共点，且，则实数的值为 ；在此条件下，以直角坐标系的原点为极点，轴正方向为极轴建立坐标系，则曲线的极坐标方程为 ． ； 曲线：，点到的距离为，因此； ，即． 13．（宣武·理·题13） 若为的三个内角，则的最小值为 ． ； ，且 ， 因此，当且仅当，即时等号成立． 14．（宣武·理·题14） 有下列命题： ①若存在导函数，则； ②若函数，则； ③若函数，则； ④若三次函数，则“”是“有极值点”的充要条件． 其中真命题的序号是 ． ③； ，①错误； ，则，②错； ，③正确； ，，只需即可，是的充分不必要条件． 3 三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（宣武·理·题15） 已知函数 ⑴求函数的最小正周期及图象的对称轴方程； ⑵设函数，求的值域． ⑴ ， ∴最小正周期． 由，得 函数图象的对称轴方程为 ⑵ 当时，取得最小值； 当时，取得最大值2， 所以的值域为． 16．（宣武·理·题16） 如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，．为中点，为中点． ⑴求证：； ⑵求二面角的余弦值； ⑶若四棱锥的体积为，求的长． ⑴∵平面，平面 ∴ ∵ ∴ ∴平面 又是中点， ∴平面 ∴． ⑵建立直角坐标系，设 则 ∴ 由⑴知，平面， ∴是平面的法向量． 设平面的法向量为， 则且， ∴． ∴， 二面角的余弦值为． ⑶连结，设， ，∴． ∵是直角三角形， ∴． 17．（宣武·理·题17） 某公司要将一批海鲜用汽车运往城，如果能按约定日期送到，则公司可获得销售收入万元，每提前一天送到，或多获得万元，每迟到一天送到，将少获得万元，为保证海鲜新鲜，汽车只能在约定日期的前两天出发，且行驶路线只能选择公路或公路中的一条，运费由公司承担，其他信息如表所示． 统计信息 汽车行驶 路线 不堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的情况下到达所需时间（天） 堵车的