[生物学]2010 曲线和曲面的网格法.doc

曲线和曲面的网格法 9.1 简介 曲线和曲面在无论是在结构化的网格生成法还是在非结构化的网格生成法中都是非常普遍的几何体。在网格中曲线看作是二维区域或曲面的边界，或者是三维模块的边缘；曲面则出现在三维区域或模块的边界和表面。 曲线上的网格划分的主要目的是为二维平面区域或曲面的贴体网格生成元提供边界数据。类似的，曲面的网格划分主要用来在三维区域或模块的边界上建立网格，为网格法提供边界数据。 在结构化的观念中，曲面上的网格构造包括以下几个方面：曲面块集合，每个曲面块的参数说明，以及曲面块边界上的一维曲线的网格构造（为曲面网格生成元提供边界条件）。实际上，为了简洁和保持曲面网格法和实体几何直观上的一致性，网格通常在二维参数平面中构造，然后再映射到原始的曲面块上。 因此，曲面网格生成的过程可以分为以下三步：前期的映射，网格生成，后期映射。前期映射是把曲面块的表示由三维实体域转换为二维参数域。一旦前期映射完成后，就在参数空间中划分网格，然后再映射回实体空间（后期映射）。曲面块被划分成曲边三角形或四边形，分别有三条或四条边界。相应的参数域可能也是由曲线围成的三角形状或四边形状。后期将参数域变换成实体域由调整的插值决定，具体的要看曲面特征的变化。 参数域的网格划分和平面中介绍的一样，有代数法，微分法，变分法。然而，这些方法需要根据曲面的必要特征加以调整，按照曲面二次型来表示，以满足曲面网格的一些性质。 这章我们回顾以前的曲线和曲面的网格生成法。 9.2 曲线上的网格 曲线上的网格划分方法规定方面和分析方面都是最简单的。这些方法为曲面网格法提供了一些参考。这部分我们讨论一些普遍的网格划分的方法。 9.2.1 曲线上网格的规定 N维空间的曲线用一个光滑的、非奇异的向量值函数表示，自变量区间为标准化的[0,1]: 由参数函数表示的曲线标记为。利用（9.1）所示的变换，我们可以把区间[0,1]上的网格节点映射成曲线上的离散网格，例如，网格点为，其中 但是，为了构造具有更好性质的网格，我们需要引进一个控制工具。这个对曲线网格划分的控制就是一个严格单调和光滑的中间变换 这个中间变换在区间[0,1]上生成网格节点，其中 选择这个变换的条件是：让代表的参数曲线 生成的网格节点 具有需要的性质。图9.1演示了曲线网格划分的步骤。因此，曲线上网格划分过程就转变成定义一个中间变换，使得它构成供曲线的一个合适的参数化表示。一个自然的变换与弧长参数有关，和（3.1）中类似，定义 其中， 函数，即的逆，由如下条件决定： 因此，对于网格区间[0,1]中的节点，我们有如下关系： 所以，对于曲线上的网格节点，我们可得： 等式（9.6）-（9.8）是7.3章节所考虑的均匀分布原则的例子，它是基于网格点之间的一种距离，该距离与权函数成反比关系。 9.2.2 网格法 曲线上的一维网格划分的主要是规定网格的步长。这个方法主要是用合适的单参变量中间变换来对曲线进行再参数化，如在第4章节中所考虑的那些中间变换，或者是中间变换的一阶衍生物构成的方程或函数。 9.2.2.1 微分法 定义中间变换的最简单的微分法就是解（9.6）中的初值问题 其中是指定的非负函数。公式（9.9）对进行微分，我们就消去常数，得到两点边值问题 方程（9.9）和（9.10）体现了第7章的均匀分布原则。结合（9.6）-（9.8），我们看到（9.9）或（9.10）的解构造出了曲线上的网格，其步长与成反比。因此，在加权表达式 中，我们得到 其中，，与（9.6）中参数化的缩放长度保持一致。 权函数由用户定义，依据是把网格节点聚集到特别感兴趣的区域。可以用物理量的衍生物来定义权函数，或者用3.5节中的曲线特征的一些度量参数来定义，特别是度规张量、曲率，或张力。这些定义决定了曲线网格的中心区域，权函数在中心区域上的值变得越来越大。 9.2.2.2 变分法 根据第8章的结果，（9.10）中关于均与分布原则的微分方程是求如下函数的最小值得来的 它的Euler-Lagrange 方程（见8.2章节） 与（9.10）是等价的。利用（9.11），我们通过权函数得到（9.12）的等价表达式： 其中， 和微分法类似，（9.13）中的权函数由解或解的衍生物的值来定义，或者是一些物理量的值来定义。 9.2.2.3 监控法 对曲线网格步长的监控法主要是引入一个监控曲线，该监控曲线由定义在曲线上的向量值函数来确定，其中是包含曲线的一个区域。参数函数（9.1）和给出了监控曲线的一个参数表达式，记作： 其中 由此我们得到 其中 在监控法中，曲线上的网格是通过将上的均匀网格用函数 映射而得到的。上的均匀网格可由弧长法导出，包括用初值问题（9.6）求得的，用两点边值问题（9.10）求得的，或是用变分问题（9.12）（其中）求得的。最终