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课时4 一元二次方程及分式方程 知识网络 一元二次方程 分式方程 一元二次方程及分式方程的应用 考点解读 考点1 一元二次方程的概念 只含有①一个未知数，未知数的最高次数是②2，且二次项系数③不为0，这样的整式方程叫做一元二次方程；它的一般形式是④ax2＋bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠０）． 考点2 一元二次方程的常用解法 直接开平方法：形如x＝a(a≥０）或(x-b)＝a(a≥０）的一元二次方程，就可用直接开平方的方法． 配方法：用配方法解一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠０)的一般步骤： ⑤化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ⑥移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； ⑦配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方； 化原方程为⑧(x+m)＝n的形式； 如果n是非负数，即n≥０，就可以用直接开平方求出方程的解．如果n0，则原方程无解． 公式法：一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠0）的求根公式是 x= (其中b－4ac≥０）． 因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 将方程的右边⑨化为0； 将方程的左边化成⑩两个一次因式的乘积； 令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 考点3 一元二次方程根的判别式 根的判别式：一元二次方程ax＋bx+c=0(其中a、b、c为常数，a≠０）是否有实数根，关键由Δ＝b－4ac的值的符号决定，Δ＝b－4ac就是一元二次方程根的判别式． 一元二次方程根的判别式与根的关系 当Δ0时，方程?有两个不相等的实数根． 当Δ＝0时，方程?有两个相等的实数根． 当Δ0时，方程?无实数根． 上述一元二次方程根的判别式与根的关系反过来也是成立的，即方程有两个不相等的实数根时，Δ＞０；方程有两个相等的实数根时，Δ＝０；方程没有实数根时，Δ＜０． 考点4 一元二次方程根与系数关系 根与系数的关系 若x1，x2为一元二次方程ax＋bx+c=0(a≠0）的两个实根，则有. 根与系数的关系的应用分为以下三类： 不解方程求方程根的代数式的值； 已知方程的根求另一个根； 根据两根的关系，确定字母的取值. 考点5 分式方程的概念及解答步骤 ?分母中含有未知数的方程叫分式方程． 解分式方程的步骤： 去分母，在方程的两边都乘以?最简公分母，约去分母，化成整式方程； 解这个整式方程； 验根，把整式方程的根代入?最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是增根，必须舍去． 考点7 分式方程的增根 定义：使分式方程中?分母为0的根. 检验方法有如下两种： 利用方程的解的定义进行检验. 将解得的整式方程的根代入?最简公分母，看计算结果是否为0，不为0就是?原方程的根，若为0则是?增根，必须舍去. 注意：分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根. 考点8 一元二次方程和分式方程的应用 列一元二次方程及分式方程的一般步骤： 实际问题审题找出等量关系设未知数列方程解方程检验解的合理性并规范作答，注意单位名称. 分式方程的应用 分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意“双检”： 检验所求的解是否是所列分式方程的解； 检验所求的解是否符合应用题的题意. 经典例题 陕西近年真副题演练 （2008，真7，3分）方程（x-2）2=9的解是 （ A ） A. x1=5，x2=-1 B. x1=-5，x2=1 C. x1=11，x2=-7 D.x1=-11，x2=7 点拨：本题考查一元二次方程的解法——直接开平方法.开方后等号右边对应的是正、负两个值.利用直接开平方法易得x-2=，则x=5或x=-1. （2009，真1，3分）解方程：. 点拨：方程两边同时乘以（x+2）（x-2），得（x-2）-(x-4)=3,整理方程得-4x=-5x.解得=. （2009，副7，3分）如图，在长70m，宽40m的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如阴影部分所示），要使观赏路面积占总面积的，则路宽x（m）应满足的方程是（ B ） A.（40-x）（70-x）=350 B.（40-2x）（70-3x）=2450 C.（40-2x）（70-3x）=350 D.（40-x）（70-x）=2450 点拨：本题考查二元一次方程的应用.观赏路的面积占总面积的，那么中间两个正方形的面积占.这两个正方形合并在一起后其长为（70-3x），其宽为（40-2x），根据长方形的面积公式可得（40-2x）（70-3x）=7040=2450. （2010,真12，3分）方程x2-4x=0的解是x=0或x