[研究生入学考试]GCT工程硕士数学讲义2.doc

第四部分 一元函数微积分 在25个考题里面占6个，主要考在一元微分学部分，微分学占到了，现在微分学的题目有四个，积分学可能有两个题目。从题目的难度说，04、06两年，微积分的题目计算量是偏大的，03、05两年题目的难度不大，但也有难题。从出题目的类型说，只有一个题目没有复习，就是渐近线的问题。今年渐近线可以不管，已经考过了。微积分 [一元微积分内容总结] 一、有关函数进一步讨论： 二、极限；极限的概念、极限的性质和极限的四则运算、两个重要极限和无穷大量和无穷小量概念及其关系、无穷小量的比较等。掌握极限的保号性质； →1 ③无穷大与无穷小的关系；④理解无穷小比较； f(x)=o(g(x))（c≠0，c≠1） 第三章 连续函数 连续的定义，左右连续的定义，连续与左右连续的关系，间断点，间断点的分类，连续函数的运算性质，连续函数的性质。给出一个函数，给出一点，判断函数在这点是否存在左极限和右极限存在且相等，相等就是连续的。 给出具体函数找间断点。1.先找有定义的点；2.单独给出定义的点； 最大值存在性和最小值的存在性； 第四章 导数和微积分的概念、导数的运算 1.概念； 2.性质；①可导定连续；反之不成立。②可导和可微是等价的；反之亦成立。 3.运算；①基本初等函数的导数要记住；②加减乘除的求导法则记住；③复合函数的联导法则要记住； 一、两类概念 1．反映函数局部性质的概念 极限、连续、可导（导数）、可微（微分）、极值（点）等 2．反映函数整体性质的概念 有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、最值、原函数、定积分等 二、三种运算 1．极限运算 常用方法：四则运算、重要极限、等价无穷小代换、无穷大与无穷小的关系、导数定义、洛必达法则等 2．求导运算 需要掌握：定义、基本导数公式、导数的四则运算、复合函数的链导法则、变限定积分函数的导数公式 3．积分运算 （1）不定积分运算：基本积分公式、换元积分法、分部积分法 （2）定积分运算：定义与性质、几何意义、牛顿—莱布尼兹公式、换元积分法、分部积分法 三、几个应用 1．单调性、极值、最值问题（不等式、方程的根） 2．凹凸性、拐点问题 3．平面图形的面积问题 [一元微积分中的常见问题] 求函数表达式的问题 1．已知, 求的表达式． 解：令 得 ，故． 2．已知 求． 解：）． 3．已知，求． 解： 因为， 所以 因此 ． 4．设，求． 解：因为 ， 所以 ． 因此 ． 5．已知，求，． 解：因为 ，所以 ， 因此 ，． 二、研究函数的奇偶性的问题 1．．奇函数 2．． 解：因为对任意的，都有定义，且 所以是奇函数； 3．研究函数的奇偶性． 解：因为对任意的，都存在，且 所以是偶函数． 三、函数在一点的性质 1．求极限． 解： ． 2．指出函数的间断点及其类型． 答案：，跳跃型；，可去型；，第二类． 3．已知函数在上连续，求的值． 解：由于 所以，； ，． 根据连续性可知 解得 ． 4．讨论函数在处的连续性、可导性． 答案：连续，可导．因为． 5．设在可导，则满足[ A ] （A）． （B）． （C）． （D）． 四、有关无穷小比较的问题 1．若， ，求与的值． 解：因为 ，所以 ． 2．已知，则当时，下列函数中与是等价无穷小的是[ C ] A ． B ． C ． D ． 解：由得． 3．确定的值，使． 解： 因为， 所以 ，因此． 又 ， 所以 . 4. 设，求． 解: ． 五、有关导数概念的问题 1．求极限 ． 解： 2．设在点某邻域内可导，且当时，已知， ，求极限 解： 3．已知，求． 解：因为 所以． 求简单复合函数、简单隐函数、幂指函数的导数和微分的问题 1．． 2．已知函数由确定，求曲线在处的切线方 程与法线方程． 解：由 得 ， 当 时，得 ，所以要求的切线与法线方程分别为． 3．．，，． 研究函数单调性、求函数极值的问题 1．单调性、极值问题 例如：求函数的单调区间和极值点． 解：，由得． 单增区间为，单减区间为和． 是极小值点，是极大值点． 2．最值问题， 3．证明不等式问题， （1）证明：． 证明：因为 ， 所以 . （2）证明：． 证明：令，则，所以当时， ，即 ，故． （3）证明：． 证明：令，由得，由于 ，所以函数在区间上的最大、最小值 分别为和，从而有 ． 4．证明等式问题 例如：设函数在上可导、单增且，证明 ． 证明：令，， 则 ， 又 ， 所以 ， 故 ． 证法2：因为 ， 所以． 注：也可用定积分的几何意义证明． 5．研究方程根的问题 例如：讨论方程实根的情况． 解：令