[研究生入学考试]北京大学概率与数理统计第03讲.ppt

函数与极限 2. P(A)0, P(B)0事件A与事件B独立， (*P23例6.3 赌徒破产模型) 甲有本金a元，决心再赢b元停止赌博，设甲每局赢的概率是1/2，每局输赢都是一元钱，甲输光后停止赌博，求：甲输光的概率q(a)？ （P25例6.4）一种新方法对某种特定疾病的诊断准确率是90%（有病被诊断有病，没病被诊断没病的概率都是90%），如果群体中这种病的发病率是0.1%，甲在身体普查中被诊断患病，问甲的确患病的概率是多少？ * 1. 条件概率的定义。 复习一下 在事件A发生的条件下，事件 B发生的条件概率是： 问题：若 , 则 若要计算 呢？ B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A 在概率论中常常会遇到一些较复杂的事件。这就提出如下问题：复杂事件A的概率如何求？ §1.6 全概率公式与Bayes公式 定义 设 为试验S的样本空间，B1,…Bn为S的一组事件。若 （1） B1,…Bn互不相容，i=1,…,n （2） 则称B1,…Bn为完备事件组。 定理6.1 （全概率公式） 上式称为全概率公式 . 设 为试验S的样本空间， A 为S的事件，B1,…Bn为完备事件组，且P(Bi)0, i=1,…, n, 则 　　　 例6 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3，1号箱装有1个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率. 解：记 A ={取得红球} 1 2 3 Bi={球取自i 号箱}, i=1, 2, 3; 某一事件A的发生有各种可能的原因 （或途径，或前提条件），i=1, 2,…, n。如果A是由原因Bi 所引起，则A发生的概率是 每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式. P(BiA)=P(Bi)P(A|Bi) 由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推 结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 . 诸Bi是原因 A是结果 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 B8 A 例7 发报机发出“.”的概率为0.6，发出“—”的概率为0.40；收报机将“.”收为“.”的概率为0.99，将“—”收为“.”的概率为0.02。求收报机将任一信号收为“.”的概率 . 解: 设 A={收报机将任一信号收为“.”}, 解题的关键： 从而得到 结合 得到： 实际中还有下面一类问题，是 “已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，即已知结果发生的条件下，求某原因发生可能性的大小. 例8 某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率. 1 2 3 1红4白 （先分析后求解） 记 Bi={球取自i号箱}, i=1,2,3; A ={取得红球} 求P(B1|A) 运用全概率公式 计算P(A) 1 2 3 1红4白 ? 二. 贝叶斯公式 定理6.2 设 为试验S的样本空间， A为S的事件，B1,…Bn为完备事件组，且P(Bi)0, i=1,…, n, P(A)0，则有 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件 A）发生的最可能原因. 一个应用是疾病普查问题见书p25例6.4. 解：设A=甲患病，B=甲被诊断有病，则所求为 1. 事件的频率 （frequency） 设A为试验S的事件，在相同的条件下把试验S独立的重复进行N次，我们称 fN (A) = N次试验中A发生的次数 N 是N次独立重复试验中，事件A发生的频率 §1.7 概率与频率 直观想法是用频率来近似事件 A 在一次试验中发生的可能性的大小，但是这种近似是否可行呢？ 掷一枚均匀硬币，记录前400次掷硬币试验中频率P*的波动情况。（横轴为对数尺度） 2. 频率的稳定性 长期实践表明，在重复试验中，事件A发生的 频率 fn(A)总在一个常数值附近摆动，而且，随 着重复试验次数 n 的增加，频率的摆动幅度越 来越小. 观测到的大偏差越来越稀少 ，呈现出 一定的稳定性. 3．概率的频率定义 在一组不变的条件下，重复作 n 次试验，当试验次数 n 很大时，事件A发生的频率 fn(A) 稳定地在某一极限值 p 附近摆动。称数值 p 为事件 A 在这一