[研究生入学考试]同济高数课后习题答案全解.doc

高等数学 同济版 第一章 一、求下列极限 1、； 解二： 2、 解二： 3、 4、 解二： 5、 解一： 解二： 6、 解二： 7、 8、 9、 10、 11、。 二、求下列导数或微分 设，求 解二： 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 设，求 三、求下列积分 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、注：上题答案有误，应为（π-1）/4 四、微分和积分的应用 1、列表讨论下列函数的单调性、凹凸性、极值、拐点； + 0 - - 0 + - -6 - 0 + 6 + 极大 拐点 极小 在区间上递增；在区间上递减。在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值。 （） + + + - 拐点 在区间上递增；在上是凸的；在上是凹的。点是函数的拐点 （3） + + 不存在 - 0 + + 0 - 不存在 + + 拐点 拐点极大 极小 在区间,上递增，在上递减；在区间，上是凹的；在上是凸的。点，是函数的拐点，函数在处取得极大值，在处取得极小值 2、求函数的极值 3、在区间上给定函数，任取，问取何值时，曲线、、及轴所围平面图形面积最大？ 所以当时所围面积最大。 4、求曲线与所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。 旋转所得体积为。 5、求曲线与以及轴所围成平面图形的面积，将此平面图形绕轴旋转一周求所得立体的体积。。 旋转所得体积为。 五、空间解析几何 1、已知向量，，，求（1）；（2）；（3）；（4）-2=-2(2,3,-1)=(-4,-6,2),3=3(1,-3,1)=(3,-9,3), 所以： -2×3= =。 （2）×= ==(0,-3,-9),所以：=0+6+0=6。 （3）=(2,3,-1)+ (1,-3,1)=（3，0，0），=(1,-3,1)+ (1,-2,0)=(2,-5,1),所以： （4） ,， 所以： =(-8,16,0) -（-4，12，-4）=(-4,4,4). 2、已知点，，，在轴上的投影，在轴上的分向量（）求的面积；设，若，取何值？（）求过点、、 的平面方程；（）求过点且与平行的直线方程y轴上的投影为4，在Z轴上的分向量为：-6。 （2）=1/2 ||||sinθ=1/2 |×|,因为：=(-3,4,-6), =(-2,3,-1), 所以： =1/2 = =. （3）因为=(-3,4,-6), ，由可知.=0,即：所以：λ=. （4）由（2）知：×= = (14,9,-1).由平面的点法式得：14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0,即：14x+9y-z-15=0. （5）= （1，-1，5）,所以由直线的点向式得：x-2=-(y+1)=. 3、求过点且通过直线的平面方程，平面上两点A（3，1，-2），B（4，-3，0），=（2，1，3），因为所求平面方程通过，则点B和向量在所求平面上且=×，即：= == (－14,1,9)，由平面方程的点法式得所求 平面方程为：14（x-3）-(y-1)-9(z+2)=0,即：14x-y-9z-59=0.4、设，，其中，且，试问（1）为何值时，；（2）为何值时，与为邻边的平行四边形的面积为6。 ，又因为，故 。 （2）与为邻边的平行四边形的面积 ，因为， ，又因为，故或－1。 七、，证明 证明：设，则， 设，证明 证明：设，则， 设，证明 设在上连续，在内可导，且，证明：在开区间内至少存在一点，使得；设在上连续，在内可导，证明：在开区间内至少存在一点，使得。 设函数连续，且求 解： 又因为函数连续，且所以 设函数求的值，使在可导。 解：显然函数在连续，所以即 又函数在可导，所以，即，所以 所以当时，在可导。 8、设在上连续，，求证：存在,使得. 证明： 所以由积分中值定理知：存在使得：即： .