[研究生入学考试]工程数学最后一页填空.ppt

例 求A的逆矩阵： 基本的数学问题 1.大型线性代数方程组Ax=b求解; 2.矩阵A的特征值和特征向量计算; 3.非线性方程 求解(求根); 4.积分 计算; 5.常微分方程初值问题求解; 6.其它。 求精确解(值)一般非常困难： 1. 方程组阶数n很大，例如n=20,计算机运算速度 1亿次/秒,用不好的方法,大约需算30多万年; 好方法不到一分钟。另外，有计算结果可靠性 问题。 2. 特征值定义 3. 形式复杂时求根和求积分很困难。 4.线性微分方程易解， 如 非线性方程难解，如 求向量组的秩和最大无关组的方法. 例7 求解线性方程组 例5 设随机变量 , Y 相互独立, 均服从正态分布N(0,1), 定义随机过程如下: 求X(t)的数字特征及一二维概率密度函数. 解: 例6 设随机余弦波 其中, 为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。求X(t)的数字特征. 解： 的概率密度为 例3 求向量组 ?1=(1,2,0,3), ?2 =(2,-1,3,1), ?3 =(4,-7,9,-3) 的秩和一个最大无关组，并判断线性相关性. 解 A=(?1T, ?2T, ?3T) 所以,秩(?1, ?2, ?3) = 2 ?1, ?2 ,?3 线性相关. 3, ?1, ?2为一个最大无关组. 例4 求向量组 ?1=(1,2,0,3), ?2 =(2,-1,3,0), ?3 =(4,-7,9,-3) 的一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表出. 解 A=(?1T, ?2T, ?3T) 例1 计算矩阵A的范数 解： 例2 计算矩阵A的范数，行列式的值，秩 解： 由于 因此，R(A)＝3 例3 计算矩阵A的范数，行列式的值，秩 解： 由于 因此，R(A)＝3 例4估计矩阵A特征值的实部和虚部的范围 解： 又由 可得 由于 故 于是， 例5估计矩阵A特征值的实部和虚部的范围 解： 又由 可得 由于 故 于是， 例 6 估计矩阵 的特征值 的分布范围 解： O 推论 1 例6 用高斯消元过程求解方程组 解：方程组的增广矩阵为 将第1行乘以－3/2加到第2行得 将第1行乘以－2加到第3行得 将第2行乘以3加到第3行得 将第2行乘以2得 x1 x2 x3 x4 1 2 3 4 y1 y2 y3 y4 1 2 3 4 例7 四对夫妇前来参加宴会，围圆桌而坐，男女相间，夫妇不相邻，问有多少种入座方式？ 图 哥尼斯堡七桥问题 定义2一个图是一个序偶V, E，记为G＝V,E， 其中： 1) V＝{v1,v2,v3,…,vn}是一个有限的非空集合，vi(i＝1,2,3,…,n)称为结点,简称点,V为结点集； 2) E＝{e1, e2, e3,…, em}是一个有限的集合，ei (i＝1,2,3,…,m)称为边，E为边集， E中的每个元素都有V中的结点对与之对应。 1. 若边e与无序结点对(u,v)相对应，则称边e为无向边,记为e=(u,v)，这时称u,v是边e的两个端点； 2. 若边e与有序结点对u,v相对应，则称边e为有向边，记为e=u, v，这时称u是边e的始点,v是边e的终点，统称为e的端点； 3. 每条边都是无向边的图称为无向图； 4. 每条边都是有向边的图称为有向图； 5. 有些边是无向边，而另一些是有向边的图称为混合图。 图的分类(按边的方向): 例1 设图G＝V, E如右图所 示。这里 V＝{v1, v2, v3, v4, v5}， E＝{e1, e2, e3, e4, e5, e6}， 其中 e1＝(v1, v2)，e2＝v1, v3，e3＝(v1, v4)， e4＝(v2, v3)，e5＝v3, v2，e6＝(v3, v3)。 图中的e1、e3、e4是无向边，e2、e5是有向边。 1) 在一个图中，关联结点vi和vj的边e，无论是有向的还是无向的，均称边e与结点vi和vj相关联，而vi和vj称为邻接点，否则称为不邻接的； 几个概念: 2) 关联于同一个结点的两条边称为邻接边； 3) 图中关联同一个结点的边称为环； 4) 图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点； 5) 仅由孤立结点组成的图称为