[研究生入学考试]概率论第1章3-6.ppt

* * * * * * * * * * * * * * 和事件 积事件 差事件 互斥事件 互逆事件 完备事件组 复 习 1. 事件的关系 2. 事件的运算 交换律 结合律 分配律 对偶律 自反律 3. 概率的公理化定义 三个公理： 非负性 归一性 可数可加性 4. 概率的运算性质: 加法公式： 减法公式： 1.3 古典概率与几何概率 1.3.1 古典概率 古典概型：若一随机试验具有下面两个特征： （1） 所有的基本事件数为有限个； （2） 每个基本事件出现的可能性相同。 则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。 古典概型中事件A的计算： 例1 将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件A1为“恰有一次出现正面”, 求P(A1); (2) 设事件A2为“至少有一次出现正面”, 求P(A2). 解 (1) 随机事件的样本空间: S={ HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT }.而 A1={HTT,THT,TTH }.故得 例 2 100件产品有60个一等品，30个二等品，10个废品，规定一二等品都为合格品，(1) 从中任意取两件，求两件产品有一件一等品一件次品的概率； (2) 这批产品的合格率。 解：（1）设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事件总数为 ，A包含的基本事件数为 ，故 （2）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的概率P(B)，B包含的基本事件数为 ，基本事件总数 为: , 故产品合格率为： 例 3 某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的概率。 例 4 据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可以推断接待来访的时间是特意安排的？ 解：设事件A表示至少有两名学生生日相同，基本事件总数为 ， 表示30个学生生日各不相同，则其基本事件总数为 ，从而 思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接待来访者都是在周一周五的概率为 实际推断原理 1.3.2 几何概率 引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一点，A为S子区域，求质点位于A的概率P(A). 由等可能的假定知，质点位于A的概率与A的度量成正比，因此，P(A)可定义为： 为A的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。 这种方法定义的概率称为几何概率 例5 甲乙两人相约在0到T这段时间内，在预定地点会面。先到者等待 t 时离去(tT)，设两人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率P(A). 解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则 即 两人能会面的充要条件为： 即 所以 例6 （Buffon投针问题） 在平面上画有等距离的一些平行线，距离为 ，向平面上随意投掷一长为 的针， 试求A=“针与平行线相交”的概率P(A). 解：设M为针的中点，x表示M点与最近的一条平行线的距离， 表示针与与最近的平行线的交角，易知： 而针与平面相交的充要条件为： 故所求概率为： 若以频率代替概率，则有 即 统计试验法 蒙特卡罗方法 (Monte-Carlo) 1.4 条件概率与乘法定理 1.4.1 条件概率 引例 某班有30名学生，其中女生12名，男生18名，女生中有2人喜欢看足球赛，男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一位学生。考虑： 定义：在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A对于事件B的条件概率。记为： A=“该生喜欢看足球赛”；B=“该生为男生”；该生喜欢看足球赛（已知该生为男生），此事件记为 例7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，现随意买一只灯泡，若用 ，分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示该灯泡为合格品，试计算下面的概率： 解： 依题意 进一步可得 例8 设某种动物活到20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？ 解：设事件A表示“活到20岁以上”；事件B表示“活到25岁以上”，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于 ，则 ， 故 1.4.2 乘法定理 定理1.1 (乘法公式) 设A,B为二事件，