[研究生入学考试]河南理工大学概率论第三章.ppt

§3、条件分布 一、离散型二维随机变量的条件分布律 定义1 设（X，Y）为离散型二维随机变量， 对于固定的j，当 时，称 为在 条件下X的条件分布律； 由条件概率可以自然地引入条件分布。 为在 条件下Y的条件分布律。 对于固定的i，当 时，称 设r.v.X与Y的联合分布律为 求在Y=1条件下X的条件分布律. 【例1】 〖解〗先求边缘分布律,见上表“边缘”. 再求条件分布律： 显然，条件分布律也满足分布律的性质。 例1-续 □ 定义2 设连续型二维随机变量(X,Y)的概率密 度为 ，边缘概率密度为 ，则当 时，称 为在条件 下X的条件概率密度；当 时，称 为在条件 下Y的条件概率密度 二、连续型二维随机变量的条件概率密度 【例2】 例2:设r.v.X与Y的联合概率密度为 求条件概率密度 。 〖解〗先求边缘概率密度： 再先条件概率密度：当 时， □ §4、相互独立的随机变量 则称随机变量X与Y是相互独立的. 定义1 设 分别为二维随机 变量(X,Y)分布函数与边缘分布函数.如果对于任意 的实数 均有 一、概念 即 利用两事件的独立性可以定义两随机变量的独立性. 二、判定 由定义可以判定随机变量X与Y的独立性: X与Y相互独立 特别的，对离散性和连续性随机变量，也可利 用其分布律与概率密度来判定独立性。 1、离散型随机变量 离散型随机变量(X,Y)的分布律、边缘分布律 分别为 则X与Y相互独立的充要条件是:对(X,Y)的所有可能 取得值 ,均有 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度、边缘概率 密度分别为 则X与Y相互独立的充要条件是:在全平面上几乎处处 成立 2、连续型随机变量 总之，联合分布可确定边缘分布;但当X与Y相互 独立时，边缘分布也可确定联合分布。 一般，要判定X与Y的独立性，可先求边缘分布, 再依据上述条件之一判定. 【例1】 例1:设随机变量(X,Y)的概率密度为 (1)求(X,Y)的边缘概率密度; (2)判定X,Y的独立性. 〖解〗(1)求(X,Y)的边缘概率 密度 例1-续1 (2)判定独立性 因为 即X与Y不独立。 □ 所以在联合概率密度非零区域内 例1-续2 【例2】(典型题） 例2:设随机变量X,Y相互独立,且X服从(0,1)上的均匀分布,Y的概率密度为 (1)求X与Y的联合概率密度; (2)求关于t的二次方程t2+2Xt+Y=0 有实根的概率. 〖解〗(1)求X与Y的联合概率密度 因为X,Y独立,且有 所以,X与Y的联合概率密度为 例2-续1 (2)求方程有实根的概率 “方程有实根”即为 故所求概率为; □ 例2-续2 ? 均匀分布的概率密度； ? 当两个随机变量相互独立时，可由边缘概率 密度确定联合概率密度； ? 由联合概率密度求事件“二维随机变量取值落 在一个平面区域内” 概率的积分公式； ? 二重积分的计算； ? 利用标准正态概率密度函数计算有关概率积 分值； ? 一元二次方程有实根的条件，等。 本题知识点回顾 我们知道：二维正态随机变量(X,Y)的概率密度为 两个边缘概率密度为 二维正态分布与边缘分布 不难看出：对于二维正态随机变量(X,Y),X与Y相 互独立的充要条件是参数ρ=0. 参数ρ称为X与Y的相关系数(ch4). 如果随机变量X与Y的相关系数ρ=0,称X与Y是不 相关的. 一般,X与Y相互独立 X与Y不相关. 但对二维正态随机变量(X,Y),X与Y独立与不相 关是等价的. 由一、二维随机变量推广至n维随机变量.请看教 材 §5、二维随机变量函数的分布 一维随机变量函数的分布在前一章已经讨论过， 下面就几个具体的分布来讨论二维随机变量函数的分 布。 主要就连续型随机变量(X,Y)来根据具体情况应用 公