[研究生入学考试]第二章 1 数列极限.ppt

5. 初等函数 非初等函数举例: 第一部分 例如, 定义: 例1. 已知 例2. 已知 例3. 设 二、收敛数列的性质 例4. 证明数列 2. 收敛数列一定有界. 3. 收敛数列的局部保号性. 4. 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 . 三、极限存在准则 例5. 证明 2. 单调有界数列必有极限 ( 准则2 )（直观解释） 例6. 设 根据准则 2 可知数列 内容小结 思考与练习 2. 设 记此极限为 e , e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 1. 数列极限的 “ ? – N ” 定义及应用 2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 保号性; 任一子数列收敛于同一极限 3. 极限存在准则: 夹逼准则 ; 单调有界准则 1. 如何判断极限不存在? 方法1. 找一个趋于∞的子数列; 方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列. 2. 已知 , 求 时, 下述作法是否正确? 说明理由. 设 由递推式两边取极限得 不对! 此处 * 微 积 分 主讲教师 张长温 E-mail: jndzcw@163.com Tel: 微积分基本内容简介 微积分 微分 极限 积分 — 一元函数极限，二元函数极限 — 一元函数积分，二元函数积分 连续 导数 — 一元函数连续，二元函数连续 — 一元函数导数，二元函数导数 级数，微分方程 推荐参考书： 同济大学编《高等数学》（上、下）高等教育出版社 几个新概念 第一章 函数 1 集合的笛卡尔乘积（8 页） 特例: 记 为平面上的全体点集 定义 设有集合 A 与 B .对任意的 所有 二元有序数组(x, y)构成的集合, 称为集合A 与 B 的 笛卡尔乘积， 即 点 a 的 ? 邻域 其中, a 称为邻域中心 , ? 称为邻域半径 . 点 a 的去心 ? 邻域 左 ? 邻域 : 右 ? 邻域 : 2 邻域的概念 3 函数的有界性 使 称 说明: 还可定义函数 f (x) 在集合 D 上有上界、有下界 为有界函数. 定义 设函数 f (x) 定义在 集合 D 上，如果对于 否则，称函数 f (x) 在 集合 D 上无界. 若函数 f (x) 在 集合 D 上是有界函数， 也称函数 f (x) 在集合 D 上是有界的 例如 函数 sin x, cos x 在其定义域内有界. 函数 y = x 在其定义域内无界. 4. 隐函数 因变量 y 是自变量 x 的函数，但 y 不能用x 的 一个数学表达式表示出来. 这样的函数称为隐函数. 隐函数一般由方程 F( x, y )=0 确定. 也就是说 已知 y 是 x 的函数， 且 y 和 x 的关系由方程F( x, y )=0 确定. 个数学表达式表示出来. 这样的函数称为显函数. 因变量 y 是自变量 x 的函数，且 y 能用x 的一 例如 y 和 x 的关系由方程 确定的函数. (1) 基本初等函数 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (2) 初等函数 由基本初等函数 否则称为非初等函数 . 例如 , 并可用一个式子表示的函数 , 经过有限次四则运算和复合步骤 所构成 , 称为初等函数 . 可表为 故为初等函数. 常数、 符号函数 当 x 0 当 x = 0 当 x 0 取整函数 当 第二章 分析基础 函数 极限 连续 — 研究对象 — 研究方法 — 研究桥梁 极限与连续 第二章 二 、收敛数列的性质 三 、极限存在准则 一、数列极限的定义 数列的极限 趋势不定 收 敛 发 散 数列极限的描述性定义： 　　定义 对于数列　　，如果当n无限变大时， 趋于一个常数 A, 则称当n 趋于无穷大时，数列　　以A 为极限，记作 亦称数列　　收敛于Ａ；如果数列　　没有极限，就称　　 是发散的． 数列极限就是当n无限增大时，数列的变化趋势. 趋于一个常数 A的含义： 与常数 A “无限接近”. 自变量取正整数的函数称为数列, 记作 或 称为通项(一般项) . 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 若数列 及常数 a 有下列关系 : 当 n N 时, 总有 记作 此时也称数列收敛 , 否则称数列发散 . 几何解释 : 即 或 则称该数列 的极限为 a , 数列极限的严格数学定义（ ） 注： 证明数列 的极限为1. 证: 欲使 即 只要 因此 , 取 则当 时, 就有 故 证明 证