[研究生入学考试]第五章 留数.ppt

例4 解： 3. 计算形如 的积分 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的. 象1中处理的一样, 由于m-n?1, 故对充分大的|z|有 z1 z2 z3 y CR -R R O x y q O p y=sinq 1 可以证明, 在半径R充分大的CR上, 有 也可写为 例5 计算 . 解：这里R(x)在实轴上连续，且分母次数比分子高一次,因而积分是存在的. R(z)在上半平面内有一级极点bi, 例6 计算积分 . 解： 因为 是偶函数, 所以 在上半平面内解析，为了使积分路线不通过原点, 取如上图所示的路线. 由柯西积分定理, 有 Cr CR y x O -r r R -R 令x=-t, 则有 因此, 要算出所求积分的值, 只需求出极限 下面将证明 所以 在z=0附近 j (z)在z=0处解析, 且j (0)=i, 当|z|充分小时可使|j (z)|?2, 而 由于 在r充分小时, 例题 哈尔滨工程大学 复变函数与积分变换 第五章 留数理论及其应用 学习要点 解析函数的孤立奇点的分类 留数定理以及其在积分计算上的应用 幅角原理、儒歇定理及其应用 第1节 孤立奇点 一.奇点的分类 函数f (z)不解析的点为奇点.如果函数 f (z)虽在z0不解析, 但在z0的某一个去心邻域0|z-z0|d内处处解析, 则z0称为f (z)的孤立奇点. 将函数 f (z)在它的孤立奇点z0的去心邻域0|z-z0|d内展开成洛朗级数. 根据级数的不同情况对孤立奇点作分类. 可去奇点 如果在洛朗级数中不含z-z0的负幂项, 则孤 立奇点z0称为 f (z)的可去奇点. 这时, f (z)= c0 + c1(z-z0) +...+ cn(z-z0)n +.... 0|z-z0|d , 则f (z)=c0+c1(z-z0)+...+cn(z-z0)n +..., |z-z0|d 从而 f (z)在z0就成为解析的了.所以z0称为可去奇点. 2. 极点 如果在洛朗级数中只有有限多个z-z0的负幂项, 且其中关于(z-z0)-1的最高幂为 (z-z0)-m, 即 f (z)=c-m(z-z0)-m+...+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+... (m?1, c-m?0), 则孤立奇点z0称为函数 f (z)的m级极点. 上式也可写成 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c-m+2(z-z0)2 +... , 在 |z-z0|d 内是解析的函数, 且 g (z0) ? 0 . 定理2： z0是 f (z)的m级极点的充要条件是 定理3如果z0为 f (z)的极点的充要条件是 例 1 对 讨论函数 在 处的性质。 3. 本性奇点 如果在洛朗级数中含有无穷多z-z0的负幂项,则孤立奇点z0称为 f (z)的本性奇点. 综上所述： 我们可以利用上述极限的不同情形来判别孤立奇点的类型. 练习：证明复函数情形下的罗比达法则。 二.零点与极点的关系 定义2: z0称为f (z)的m级零点.如 f (z)在z0解析, 且 f (n)(z0)=0, (n=0,1,2,...,m-1), f (m)(z0)?0 . 例如： f (z)=z(z-1)3, z=0与z=1分别是是f (z)的一级与三级零点. 定理3： z0是为f (z)的m级零点的充要条件是 f (z) = (z-z0) m j (z), 其中j (z)在z0解析且 j (z0) ? 0, 由于f (z) = (z-z0) m j (z)中的j (z)在z0解析, 且j (z0)?0, 因而它在z0的邻域内不为零. 这是因为j (z)在z0解析, 必在z0连续, 所以给定 所以f (z)=(z-z0)mj (z)在z0的去心邻域内不为零, 即不恒 为零的解析函数的零点是孤立的.(零点孤立原则) 定理4 如果z0是f (z)的m级极点, 则z0就是 的m级零点. 该定理为判断函数的极点提供了一个较为简单的方法. 例 3 第2节 留数定理 一. 留数的概念 定义1. 设f (z)