[研究生入学考试]线性代数课件5.ppt

第五章 相似矩阵及二次型 §1 向量的内积 §2 方阵的特征值与特征向量 定义5.2.2 设矩阵 则称矩阵 为A的特征矩阵,它的行列式det(λE-A)是λ的一个n次多项式,称为A的特征多项式. 分析: 矩阵A的特征值即为其特征多项式det(λE-A)的根. 设λ是矩阵A的一个特征值,则由方程 (λE-A)X=0 求得的非零解即是A对应于λ的特征向量. 二、特征值与特征向量的求法 例1 求下列矩阵的特征值与特征向量. §3 相似矩阵 定义5.3.2 如果n阶矩阵A相似于对角矩阵，则称A可对角化.即存在一个可逆矩阵P，使得 对称矩阵的相似矩阵 §4 二次型 定义5.4.1 含n个变量x1,x2,…,xn的二次齐次多项式 利用矩阵乘法,二次型可表示为: 对称矩阵A与二次型f之间具有一一对应关系,通常把对称矩阵A称为二次型f的矩阵. 二、用正交变换化二次型为标准形 三、用配方法化二次型为标准形 四、正定二次型 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例 从而得特征值 2．求特征向量 3．将特征向量正交化 得正交向量组 4．将正交向量组单位化，得正交矩阵 于是所求正交变换为 配方法就是凑完全平方项，该方法简单，但得到的变换一般不是正交变换。使用该方法时应注意： 1. 所得变换必须是可逆的 2. 如果 f 中含有x1的平方项，应先归并x1后再配方, 使x1只含于平方项中，然后依次考虑剩下变量。 3. 如果 f 中不含平方项，如含x1x2项，则x1=y1+y2, x2=y1-y2, x3=y3, 化成含平方的项，再用方法2。 二次型的标准形是不唯一的(由所用的变换而定)，但标准形中所含项数是确定的（由秩决定），如果是实变换，那么，标准形的正系数项也是不变的。 定理1 设实二次型 f =xTAx, 它的秩为r，有两个实的 可逆变换 x=Cy 及 x=pz 使 及 则 中正数的个数与 相同 * 前页 首页 后页 封面 * §1 向量的内积 §2 方阵的特征值与特征向量 §3 相似矩阵 §4 二次型 教学目的与要求 掌握向量内积、正交与单位化，方阵的特征值与特征向量，相似矩阵，二次型等概念，会求方阵的特征值与特征向量， 了解矩阵的对角化，会化二次型为标准型。 教学重点与难点 方阵的特征值与特征向量的概念及求法，矩阵的对角化。 一、向量的内积 定义5.1.1 设有两个n维向量 则(α,β)称为向量α与β的内积.向量的内积可以看成数量积的推广. 向量的内积是向量的一种运算,也可以写成 (α,β)= α T β. 向量的内积运算规律: 1. (α,β)=(β,α) ; 2. (λα,β)=λ(α,β) ; 3. (α+β,γ)=(α, γ)+ (β, γ) . 定义5.1.2 设 则称它为n维向量α的长度(或范数). 当n维向量α的长度为1时,则称α为单位向量. 对任何非零向量α, 称为向量α的单位化. 定义5.1.3 当(α,β)= 0时,称向量α与β正交. 若非零向量组a1,a2,…,as两两正交 ,则称这个 向量组为正交向量组. 定理 5.1.1 若n维向量组a1,a2,…,as是正交 向量组,则a1,a2,…,as线性无关. 二、向量组的正交单位化 线性无关的向量组不一定是正交的，但总可以找到一组两两正交的单位向量组与之等价.这个过程称为将向量组正交单位化. 施密特(Schmidt)正交单位化过程: 设a1,a2,a3线性无关， 例1、将下列向量组正交单位化. 解:取 再令 此即为所求. 一、方阵的特征值与特征向量 定义5.2.1 设A为n 阶方阵,若存在数λ和 非零的n维向量X,使得 AX= λX 成立,则称数λ为矩阵A的特征值, 称X为矩阵A对应于特征值λ的特征向量. 分析:若将条件AX= λX改写为(λE-A)X=0 此即为一齐次线性方程组,它有非零解 的充要条件为 det(λE-A)=0 定理5.3.1 相似矩阵的行列式相同；特征多项式相同；特征值相同. 定义5.3.1 设A与B都是n阶矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得 则称A与B是相似的.(或称B是A的相似矩阵. ) 推论：若n阶矩阵A与对角矩阵 相似，则 就是A的n个特征值。 问题：对于方阵A，寻找可逆矩阵p，使 为对角矩阵。即方阵A的对角化。 设已经找到可逆矩阵p，使 ，来讨论p。 把p用列向量表示为 p=(p1,