[研究生入学考试]考研数学复习高数与线性代数.doc

第一章 函数 极限 连续 一．求极限方法小结 极限是整个微积分的基础，要理解微积分，首先要很好地理解极限的概念. 有多种求极限的方法，究竟该用哪种方法求极限，关键是要判断极限属于哪一种类型. 1. 知识要点 利用极限的定义求极限. 利用极限运算法则求极限. 利用不等式求极限. 利用变量代换法求极限. 利用两个重要极限求极限. 利用单调有界准则求极限. 利用函数的连续性求极限. 利用等价无穷小代换求极限. 利用单侧极限求极限. 利用罗必达法则求极限. 利用导数定义求极限. 利用定积分定义求极限. 利用公式求极限. 2．典型例子 例1：设 求证：存在，并求其值. 例2：求 （答案：1） 例3：求 （答案：1） 例4：求 （答案：0） 例5：求 （答案：） 例6： （答案：） 例7：求常数，使 （） 例8：已知,证明数列收敛，并求出此数列的极限. 例9：设，求 （答案：） 例10：求 （答案：1） 例11：求 （答案：1） 例12: （答案：1） 例13：设，证明：当时，与是同阶无穷小量. 例14： （答案：） 例15：求 （答案：） 例16：求 （答案：） 例17：设在原点的邻域内二次可导，且，求及 （答案：） 例18：设在的某邻域内具有二阶导数，且，求及.（答案：，） 例19：设，，均为非负数列，且，，，则必有 对任意成立； 对任意成立； 极限不存在； 极限不存在. （2003年数学一） 例20：已知，求 （答案：） 例21：设函数在的某邻域内具有二阶连续导数，且，，.证明：存在惟一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小. 例22：求极限（答案：） 例23：已知当时与是等价无穷小，求常数和.（答案：） 例24：设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是 若收敛，则收敛. 若单调，则收敛. 若收敛, 则收敛. 若单调，则收敛. (答案：B) （2008年数学一） 例25：求极限 （答案：）（2008年数学一） 例26：(I)证明:对任意的正整数,都有 (II)设,证明数列收敛. （2011年数学一、二） 二．函数的连续性 1．知识要点 函数在一点的连续性：在点处连续 在点处连续 连续函数的运算 初等函数的连续性： 基本初等函数在定义区间内是连续的； 初等函数在定义区间内是连续的 4．函数的间断点和间断点的分类 5．闭区间上连续函数的性质：最值定理、介值定理 2．典型例子 例1：求函数 的间断点，并指出其类型. 例2：讨论函数在定义域内是否连续. 例3：设 其中具有连续导数且，试确定的值使连续，并讨论是否连续. （答案：） 例4：设在内连续，，且，试证明至少存在一点，使. 例5：设在上连续，且，证明（1）存在，使；（2）存在，使. 例6：设函数在上连续，在内可导，且， 试证必存在，使 （2003年数学三） 例7：设函数 问为何值时，在处连续；问为何值时，是的可去间断点？（2003年数学二） 例8：设 试补充定义使得在上连续。（答案：） （2003年数学三） 例9：函数在下列哪个区间内有界. （） （） （） （） （2004年数学三） 例10：设在内有定义，且 则 （）必是的第一类间断点. （）必是的第二类间断点. （）必是的连续点. （）在处的连续性与的取值有关. 例11：设在连续，且，证明：，使得. 第二章 一元函数微分学 一．导数与微分 1．知识要点 导数的定义：导数反映了客观运动过程的瞬时变化率 导数的物理意义、几何意义：分别表示变速直线运动的瞬时速度、曲线的切线的斜率. 曲线在点处的切线方程为： 法线方程为： 在经济学中，的边际函数是指关于自变量的变化率。例如表示边际成本函数，表示边际收入函数，表示边际利润函数. 函数可导与连续的关系：如果函数在点可导，则在点处连续。但是，连续却不一定可导. 求导法则：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则、反函数的求导法则、隐函数的求导法则、参