[研究生入学考试]考研经典数学讲义第八章多元函数微分法.ppt

定理2 . 若函数 的某邻域内具有连续偏导数 , 则方程 在点 并有连续偏导数 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足 ① 在点 满足: ② ③ 某一邻域内可唯一确 根据隐函数存在定理， 存在 点 的一个邻域，在此邻域内，该方程 (A)只能确立一个具有连续偏导的隐函数 (B)可以确立具有连续性偏导的隐函数 (C)可以确立具有连续性偏导的隐函数 (D)可以确立具有连续性偏导的隐函数 设 则 例3. 提示: 例4. 设 解法1: 直接求导法 再对 x 求导 注意：对x求导时,应把y看成常量,把z看成x,y的函数. 例4. 设 解法2: 利用公式 设 则 解法3 : 利用微分法求导 (10数学一,二) (13数三) 解: 方程两边求微分, 得 即 例5.设 是由方程 和 所确定的函数 , 求 (99考研) 分析: 自变量个数 = 变量总个数 – 方程总个数 自变量与因变量由所求对象判定 函数的个数=方程的个数 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 第八章 多元函数微分法 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同. 1.在几何中的应用 ★求曲面的切平面及法线 (关键: 抓住法向量) 三、多元函数微分法的应用 曲面 曲面 ? 在点 1) 隐式情况 ： 的法向量： 切点 曲面 2) 显式情况： 法线的方向余弦： 法向量： 切点 ★求曲线的切线及法平面 (关键: 抓住切向量) 1) 参数式情况. 切向量 2) 一般式情况. 切点 切向量 其指向与t 的增长方向一致. ★已知平面光滑曲线 切点 该曲线在 处的切向量为： ★若平面光滑曲线方程为 特别的： 其指向与t 的增长方向一致. ★若平面光滑曲线方程为 思考: 平面曲线的切线(切向量)与法线(法向量). 1.已知平面光滑曲线 在点 有切线方程: 在 处的切向量为： 2.若平面光滑曲线方程为 故在点 有法线方程 3.已知平面光滑曲线 切线方程： 法线方程： 在点 有 例1. 解: 切向量为： 所求切线方程为： 法平面为： 求曲线 上对应于 的点处的切线 与法平面方程. 例2. 求曲线 在点M (1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解: 令 则 切向量 切线方程 即 法平面方程 即 练习： 解: 令 (13数一) 2. 极值与最值问题 1)定义: (1)由定义知:极值点应在定义区域内部(内点),而不能在边界上. (3) 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; (2)该极值的概念可推广到三元以上的多元函数上. 说明： 在点 (0,0) 有极大值; 2)极值的必要条件与充分条件 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 练习:(2003研)设可微函数 在点 取得极小值, 则下列结论正确的是( ) C 定理1简述为：驻点 极值点(可导函数) 注1 几何意义： 注2 逆命题不成立,即驻点不一定是极值点. 故驻点 极值点 但在该点不取极值. 因函数在 该点的偏导不存在. 1)驻点 2)偏导中至少有一个不存在的点. 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 若函数 令 时, 具有极值 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 时, 没有极值. 3) 当 时, 不能确定 , 需另行讨论. 1)驻点 2)偏导中至少有一个不存在的点. 例3. 求函数 解: 解方程组 得驻点(1,1),(0,0) 故所求函数的极值为: 对驻点(1,1): 所以 对驻点(0,0): 所以函数在(0,0)处无极值. 3)求函数 的极值的一般步骤： 第三步: 定出 的符号， 再判断是否为极值. 求出在定义区域内部的实数解, 第一步: 解方程组 得驻点. 第二步: 求出二阶偏导数 的值A、B、C. 对于每一个驻点 (12数学一,二) (09数学二) (09数学一,三9分) * 一、 基本概念 二、多元函数微分法 三、多元函数微分法的应用 第八章 多元函数微分法 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同. (1) 区域 邻域 : 区域 连通的开集 (2) 多元函数概念 n 元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 一、基本概念 1. 多元函数 定义域及对应规律 (无几何直观) 解: 例1. 求 的定义域． x o y 所求定义域为: 例2.设 解: 则称常数A为函数 描述性定义 对于二元函数 是定义域D的聚点 对应的函数值