[社会学]运筹学__指派问题.ppt

这是一个标准型的指派问题 类似有：有n项加工任务，怎样指派到n台机床上分别完成； 有n条航线，怎样指定n艘船分别去航行….. 等。 对应每个指派问题，需有类似上表那样的数表， 表中数据称为效率矩阵或系数矩阵， 其元素cij0(i,j=1,2,…n)， 表示指派第i人去完成第j 项任务时的效率（或时间、成本等） （二）指派问题的数学模型 1. 指派问题的一般提法： 设m个人被指派去做m件工作， 规定每个人只做一件工作， 每件工作只有一个人去做。 已知第i个人去做第j 件工作的的效率（ 时间或费用） 为cij (i=1.2…m;j=1.2…m) ，并假设cij ≥0。 问应如何指派才能使总效率最高或总时间﹑ 总费用最低 ？ 4. 指派模型的标准形的特点: 含有m×m个决策变量,均为0-1变量 m+m＝2m个约束方程 指派问题是0-1 规划的特例， 也是运输问题的特例，所以可用整数规划，0-1 规划或运输问题的解法去求解， 但这就如同用单纯形法去求解运输问题一样， 是不合算的。 根据指派问题的特点可以有更简便的解法， 就是匈牙利算法， 其重要依据是： 系数矩阵中独立 0 元素的最多个数等于能覆盖所有 0 元素的最少直线数。 匈牙利法基于这样一个明显的事实： 如果在m阶效率矩阵中，所有元素cij≥0， 而其中有m个位于不同行不同列的一组0元素， 则在解矩阵中，只要令对应于这些0元素位置的xij＝1，其余的xij＝0，就得到最优解。 此时的最优解为０ 利用这个性质，可使原系数矩阵变换为含有很多 0元素的新系数矩阵，而最优解保持不变， 在系数矩阵(bij)中，把位于不同行不同列的0元素， 简称为独立的0元素。 问题是： 能否找到位于不同行、不同列的m个0元素？ 若能在系数矩阵(bij)中找出m个独立的0元素； 则令 解矩阵(xij)中对应这m个独立的0元素的xij取值为1， 其他元素取值为0。 将其代入目标函数中得到zb=0，它一定是最小值。 这就是以(bij)为系数矩阵的指派问题的最优解。 从而也就得到了原问题的最优解。 第二步：圈出不同行且不同列的０元素，进行试指派，以寻找最优解。 若仍有没有划圈的0元素，且同行（或列）的0元素至少有二个， (表示对这个人可以从两项任务中指派其一)， 从剩有0元素最少的行(列)开始，比较这行各0元素所在列中0元素的数目，选择0元素少的那列的这个0元素加圈(表示选择性多的要“礼让”选择性少的) 然后划掉同行同列的其他0元素，可反复进行，直到所有的0元素都被圈出和划掉为止。 当指派问题的系数矩阵，经过变换得到了同行和同列中都有两个或两个以上0元素时。这时可以任选一行(列)中某一个0元素，再划去同行(列)的其他0元素。这时会出现多重解。 在实际应用中，经常遇到非标准形式的指派问题。处理方法： 化标准，再按匈牙利算法求解。 人数和任务数不等的指派问题： 若人少任务多时，则添上一些虚拟的“人”。这些虚拟的“人”完成各任务的费用系数可取0，理解为这些费用实际上不会发生。 若人多任务少时，则添上一些虚拟的“任务”。这些虚拟的“任务”被各人完成的费用系数同样也取0。 三、非标准形指派问题 1. 最大化指派问题 目标函数变为： a)上述目标函数等价于： b)应用定理一，将之化为标准形：设最大化分配问题效率矩阵A=[aij],其中最大元素为m。令B= [bij]=[m+(-aij)] =[m-aij], 则以B为系数矩阵的最小化指派问题和以A为系数矩阵的原最大化指派问题有相同最优解。 最大化指派问题 例: 有4种机械要分别安装在4个工地，它们在4个工地工作效率（见下表）不同。问应如何指派安排，才能使4台机械发挥总的效率最大？ 30 25 40 32 32 35 30 36 35 40 34 27 28 43 32 38 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 乙 丙 丁 工地 机器 解：设最大化的指派问题系数阵 ， 其中最大元素为m（本例中m=43），令矩阵 本例中 -3 -7 -3 -0 -4 圈0 覆盖 打? ? ? ? -1 -1 +1 圈0 此时m=n=4,因此决策变量矩阵为 即指派机械Ⅰ安装在工地丙，机械Ⅱ安装