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第十一章 无穷级数 数项级数 （一）利用级数的性质和定义审敛常数项级数 【】 级数 数列 称为级数的部分和. 【】, 称级数收敛， 记为或 若没有极限（不存在），则称级数发散. 【】【】 （2） （3） 解 （1） = 由级数收敛的定义知此级数收敛且. （2） ，由级数收敛的定义知此级数发散. (3) ，故该级数收敛 【】为常数，若级数收敛，则 解 因为 收敛，由级数收敛的必要条件得，从而，故应填 【】 （2） （3） 解 （1）由于 ， 而发散，收敛，故原级数发散. （2） 由于，故原级数发散. （3） 将原级数加括号如下: 而发散，由级数的性质：加括号的级数发散则原级数发散. 故发散. 正项级数 （二） 根据审敛定理判别常数项级数敛散性 【】（）收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. 【】,当时，当 若收敛，则收敛； 若发散，则也发散； （2）极限形式 设与均为正项级数， 当,则与同时收敛或同时发散； 当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散； 当时，若收敛，则收敛；若发散，则发散. 注 常用于比较的级数有： ① 几何级数 当时，级数收敛且；当时，级数发散. ② p-级数当时，级数收敛；当时，级数发散. 推论1 设.若与是同阶无穷小,则与具有相同的敛散性.特别地,若(等价无穷小),则与具有相同的敛散性. 推论2 若均为的多项式，的最高次数-的最高次数，则时，收敛；时，发散. 【】,且,若，级数收敛；若，级数发散；若，该方法失效. 【】,且，若，级数收敛；若，级数发散；若，该方法失效. 例 【】且收敛， 则级数 [ A ] (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不能断定 解 由于正项级数收敛，则也收敛，又 ， 由比较审敛法的极限形式知原级数绝对收敛，应选A. 【】则下列级数中肯定收敛的是 [ D ] (A) (B) (C) (D) 解 因为 （1） 若则由于收敛，由比较审敛法知绝对收敛，从而选择D. （2） 取 则但是与都发散 （3） 取 则但是发散 【】和都收敛，则收敛 (B) 收敛，则和都收敛 (C) 若正项级数发散，则 (D) 若 收敛，且 则级数也收敛 解 由于若 和都收敛，则收敛，故应选A. 【】都发散，则 [ C ] (A) 发散 (B) 发散 (C) 发散 (D) 发散 解 由于级数都发散知，必定发散，否则，由 知收敛，从而与题设矛盾，则应选C. 【】 解 1 ，而收敛，由比较审敛法知原级数收敛. 解2 ，而收敛，由比较审敛法的极限形式知原级数收敛. 【】 解1 当 时 ，原级数为发散. 当时，原级数收敛. 当时，原级数收敛. 解2 当 时 ，原级数发散. 时，原级数收敛. 当时，原级数收敛 【】 （2） （3） 解 （1） ，由比值审敛法知原级数收敛. （2），由比值审敛法无法判定原级数是否收敛.但，从而，原级数发散. （3） ，所以原级数收敛. 注 级数一般项中的无穷小项可以用其等价无穷小代换，级数敛散性不变. 【】 解1 当时， 由比值审敛法原级数收敛. 当时，由比值审敛法原级数收敛. 当时，由比值审敛法原级数收敛. 解2 当时，，级数收敛. 当时，级数收敛 当时， 级数收敛 【】 解1 ，由根值审敛法知级数发散. 解2 当足够大时，，而发散，所以原级数发散. 2.交错级数 【】满足条件: 1° （递减）; 2°， 则该级数收敛,且其和,其余项的绝对值. 例 【】则级数 [ C ] (A) 与都收敛 (B) 与都发散 (C) 收敛而发散 (D) 发散而收敛 解 是一个交错级数， （1） （2）设 所以单调减，又来布尼兹判别法知收敛. 而 发散，则发散，则应选C. 3.一般级数 【】收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而级数发散，则称级数条件收敛. 【】收敛，则必收敛. 例 【】 解 而 故 收敛，由比较审敛法知收敛，从而原级数绝对收敛. 【】 解 首先， 而发散，由比较审敛法知发散.其次 设则故当 时,