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第三章：概率与分布 第一节：概率与概率分布 在行政学领域，调查中常用的方法是抽样调查，抽样调查的目的是通过抽样调查研究结果对总体做出推论或者判断。但是，这种推论和判断是没有百分之百可靠性的，推了推伦所预言的结果之外，还可能有其它结果。而研究可能的结果以及各种结果出现的可能性大小，正是概率论所要研究的问题。可见，对于通过抽样调查使研究局部推论到总体，必须通过概率论作为工具，这也是学习统计推论必须了解概率论相关知识的缘故。 一、什么是随机现象 1.社会现象的分类 ①确定性现象：表示为：若……，则……。 ②随机性现象：表示为：若……，可能……。随机现象具有非确定性、随机性。 2.随机现象的特点 ①随机性 对于同一随机事件，如果重复试验或观察的次数N不太大时，其频率f（E）取值，不仅可能不相同，而且可能相互差别较大。 ②规律性 当试验或观察次数N相当大后，频率f(E)将稳定于某一常数p，这又是它具有统计规律性。 二、概率的概念 随机事件（Random Event）：具有非确定性的事件。 尽管随机事件具有偶然性，但在大量重复试验和观察下可以发现其中的规律，即统计规律性。如果能用数量的形式将随机事件发生的可能性大小表示出来，则可以得到随机事件发生的概率。 1.概率（Probability） 概率是指用数量的形式表示随机事件发生的可能性大小。 某公司有100名员工，其中20名为已婚，现随机抽取25人，其中至少有21名已婚者的概率为多少？ 2.概率的特性 把不可能发生的事件称为不可能事件（记作?），发生的概率P（?）=0； 把一定发生的事件（S）称作必然事件，发生的概率P（S）=1； 而一般的随机事件E，其概率为0≤P（E）≤1。 三、概率的计算方法 1.频率法 在相同条件下进行N次试验或观察，随机事件E出现的次数n称作频数。频数n与试验次数N的比值n/N，称作N次试验或观察中事件E的频率，记作：f(E) = n/N 频率f(E)具有如下的性质： 0≤f(E)≤1。 当观察的次数较少时，f(E)会各不相同，但当观察次数N逐渐增大时，f(E)就会趋向于稳定。概率可以视为当观测次数N趋近无穷时相应的频率n/N值 观察抛掷硬币国徽一面出现的频率，统计学家蒲丰和皮尔逊做了相关的实验。 频率与概率的关系： 当观察次数足够大时，频率会稳定于概率。也称为概率的频率定义。 普查中某种现象出现的频率就是该现象的概率。 生活中采用的大多数为抽样调查样本数据，这时只有某个随机现象出现的频率值，即统计值。 2.古典法 样本点——对于一随机事件，我们把随机试验中的每一种结果称为一个样本点，或称为基本事件；样本空间——随机事件所有的结果的集合则称为样本空间。 用古典法来计算概率的方法： 如果随机事件A包含m个样本点，则随机事件A的概率为：P(A)=A中样本点的个数/样本点的总数=m/n 全班有九名同学，其中四名女生，求任抽一名为男生的概率。 四、概率分布 1.概率分布 指随机现象一共有多少种结果，以及每种结果所伴随的概率是多少。 这里对随机事件进行量化研究，将其看作变量ξ，把随机现象的各种结果看作变量ξ的各种取值，这些取值在观测或试验前是无法预言或事先确定的。它只在观察后才能确定。 当变量的取值满足完备性和互不相容性，那么取值和概率对的集合：（X1，p1）；（X2，p2）……就是随机变量的概率分布，简称概率分布。 2.离散型随机变量及其概率分布 离散型随机变量是指它的可能取值是有限个或可数个值，它所包含的变量层次是很广的，包括定类、定序、定距和定比变量。 离散型随机变量的概率分布，有以下表达：P（ξ=xi）=pi i=1，2，…，n Xi为随机变量的可能结果，pi为该可能结果出现的概率。其性质有：概率具有非负性；随机变量的取值具有完备性，概率总和为1。 3.连续随机变量的概率的分布 ①连续随机变量 定距层次以上的变量，是指它的可能取值连续地充满了某个区间，正因为如此，对于连续性变量来说，讨论某一点取值的概率将是没有意义的，一般情况下，当ξ为连续随机变量时，P(ξ=X)=0 连续随机变量的概率分布研究在某个区间ΔX内的随机变量取值在整个随机变量取值中所占的比率，即连续随机变量的概率。 显然，如果区间Δx很小，则相应Δx区间内的概率也很小，因此，当Δx→0，其概率→0。 对于连续的定距变量