[管理学]管理运筹学20123-对偶问题与灵敏度分析.ppt

版权归工商管理系刘艳老师所有 1 第3讲：LP的对偶问题与灵敏度分析 要求： 了解LP对偶问题的实际背景 了解对偶问题的建立规则与基本性质 掌握对偶最优解的计算及其经济解释 掌握LP的灵敏度分析 理解计算机输出的影子价格与灵敏度分析的内容 DUAL 版权归工商管理系刘艳老师所有 2 3.1 对偶问题 3.1.1 对偶问题的提出 回顾例题1：现在A、B两产品销路不畅，可以将所有资源出租或外卖，现在要谈判，我们的价格底线是什么？ 产品A 产品B 资源限制 劳动力 设备 原材料 9 4 3 4 5 10 360 200 300 单位利润 70 120 版权归工商管理系刘艳老师所有 3 建立对偶模型 设每个人工工时收费Y1元，设备台时费用Y2元，原材料附加费Y3元。 出租收入不低于生产收入： 9y1+4y2+ 3y3 ≥70 4y1+5y2+10y3 ≥120 目标：ω=360y1+200y2+300y3 出租收入越多越好？至少不低于某数 版权归工商管理系刘艳老师所有 4 原问题与对偶问题之比较 原问题： 对偶问题： maxZ=70X1+120X2 minω=360y1+200y2+300y3 9X1+4X2≤360 9y1+4y2+3y3 ≥70 4X1+5X2 ≤200 (2.1) 4y1+5y2+10y3 ≥120 (2.2) 3X1+10X2 ≤300 y1 ≥0, y2 ≥0, y3 ≥0 X1≥0 X2≥0 3.1.2 对偶的定义 原问题一般模型： 对偶问题一般模型： maxZ=CX minω=Yb AX ≤b YA ≥C X ≥0 Y ≥0 版权归工商管理系刘艳老师所有 6 对偶规则 原问题有m个约束条件，对偶问题有m个变量 原问题有n个变量，对偶问题有n个约束条件 原问题的价值系数对应对偶问题的右端项 原问题的右端项对应对偶问题的价值系数 原问题的技术系数矩阵转置后为对偶问题系数矩阵 原问题的约束条件与对偶问题方向相反 原问题与对偶问题优化方向相反 版权归工商管理系刘艳老师所有 7 对偶关系对应表 . 原问题 对偶问题 目标函数 max 目标函数 min 约束条件 （m个） ≤ ≥ = 变量 （m个） ≥0 ≤0 无限制 变量 （n个） ≥0 ≤0 无限制 约束条件 （ n个） ≥ ≤ = 版权归工商管理系刘艳老师所有 8 对偶规则简捷记法 原问题标准，则对偶问题标准 原问题不标准，则对偶问题不标准 例题2 max ω=7y1+4y2-2y3 minZ=3x1+2x2-6x3+x5 2y1+ y2- y3 ≤3 2x1+x2-4x3+x4+3x5 ≥7 y1 +3y3 ≤2 x1+ 2x3 -x4 ≤ 4 - -4y1+ 2y2 ≤-6 -x1+3x2 -x4+ x5 =-2 y1 -y2 -y3 ≥ 0 x1，x2，x3 ≥0; 3y1 +y3=1 x4 ≤ 0;x5无限制 y1 ≥ 0，y2 ≤ 0，y3 无约束 版权归工商管理系刘艳老师所有 9 3.1.3对偶问题的基本性质 对称性：对偶问题的对偶问题是原问题 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标函数值，不大于其对偶问题任意可行解的目标函数值 (鞍型图) 无界性：原问题无界，对偶问题无可行解 对偶定理：若一个问题有最优解，则另一问题也有最优解，且目标函数值相等。若原问题最优基为B，则其对偶问题最优解Y*=CBB-1 对偶的定义 1、对偶的对偶就是原始问题（对称性） 对偶的定义 (1)、可行解的目标函数值之间的关系(弱对偶性) 设XF