[管理学]线性代数实践教师班第四讲.ppt

线性代数实践（第四讲） 第9章 线性变换及其特征 9.1 平面上线性变换的几何意义 例9.1 设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成 把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形： x?[0,1,1,0;0,0,1,1]; subplot(2,3,1), fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],r) A1?[?1,0;0,1], y1?A1*x subplot(2,3,2), fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],g) … 几种变换的行列式与特征值 看出的基本关系 可以看出，矩阵A1使原图对纵轴生成镜像，矩阵A2使原图在横轴方向膨胀，矩阵A3使原图在纵轴方向压缩，矩阵A4使原图向右方剪切变形，矩阵A5使原图沿反时针方向旋转t?pi/6。分别计算出这五个矩阵的行列式和特征值， 对二维空间（平面），行列式的几何意义实际上是两个向量所构成的平行四边形的面积。一个变换所造成的图形的面积变化，取决于该变换的行列式。A1，A4和A5的行列式绝对值都是1，所以它们不会使变换后图形的面积发生改变。而A2和A3的行列式分别为1.5和0.2， 9.2 二维矩阵特征值的几何意义 二维矩阵的特征值表示该变换在原图形的特征向量的方向上的放大量。例如矩阵A1在第一特征向 量 方向的特征值为 ，即横轴 正方向的增益为?1，其结果是把原图中横轴正方向的部分变换到新图的负方向去了；A1在第二特 征向量 的方向的特征值为λ1(2)=1， 即纵轴正方向的增益为1，因而保持了新图和原图在纵轴方向尺度不变。 用eigshow函数看特征值 对于比较复杂的情况，完全凭简单的几何关系去想像是困难的，应当用eigshow函数，联系x和Ax的向量图来思考。 键入eigshow(A4) 。绿色的x表示原坐标系中的单位向量，可以用鼠标左键点住x并拖动它围绕原点转动。图中同时出现以蓝色表示的Ax向量，它表示变换后的新向量。当两个向量处在同一条直线上时（包括同向和反向），表示两者相位相同，只存在一个（可正可负的）实数乘子λ， Ax?λx Eigshow(A4)产生的图形 eigshow([1,2; 2,2])的图形 A是对称实矩阵的情况 特别要注意A是对称实矩阵的情况，所谓对称矩阵是满足AT?A的矩阵。，对2?2矩阵，只要求A(1,2)?A(2,1)。例如令，A=[1,2;2,2] 再键入eigshow(A)，这时的特点是：Ax?λx出现在Ax椭圆轨迹的主轴上，所以两个特征值分别对应于单位圆映射的椭圆轨迹的长轴和短轴。此时A的特征值为 -0.5616和 3.5616，可以和图形对照起来看。 例9.2 斜体字的生成 数据矩阵 表示英文大写空心字母N的各个节点 （1）用plot语句在子图1中画出其形状； （2）取 作为变换矩阵对x进行变 换，并在子图2中画出其图形； 画图的要点是要在给定的数据右方，补上第一点的坐标，使画出的图形封闭。 程序与图形结果 x0?[0,0.5,0.5,6,6,5.5,5.5,0;0,0,6.42,0,8,8,1.58,8]; x?[x0,x0(:,1)]; % 把首顶点坐标补到末顶点后 A?[1,0.25;0,1]; y?A*x; subplot(1,2,1),plot(x(1,:),x(2,:)) subplot(1,2,2),plot(y(1,:),y(2,:)) 画出的两个图形如右： 平移运动不能用二维变换实现 刚体在平面上的运动要用两个平移和一个转动来描述，转动可以从上面的线性变换A5得到，但平移y?x?c却不是一个线性变换。因为： （1）设ya?xa?c；yb?xb?c；则它们的和为 y?ya?yb?xa?xb?2c≠x?c， 可见，它对加法不封闭； （2）设ya?xa?c；将它乘以常数k， y?kya?k(xa?c)?kxa?kc≠kxa?c?x?c， 可见，它对乘法也不封闭；就是说，这不符合线性变换的规则，x和y 不属于同一个向量空间，无法用矩阵乘法来实现平移变换y?x?c。 平面运动模型的齐次坐标系 把平面问题映射到高维的空间来建立方程，有可能把x和y由扩展了的向量空间来覆盖。把原来通过原点的平面沿垂直方向提高一个单位，与原平面保持平行，于是原来的x就用三维向量来表示为： 这样的坐标系称为齐次坐标系。 刚体平面运动用线性变换描述 此时可以把平移矩阵写成： 因而平移运