[经济学]保险精算模型20102.ppt

上海财经大学 统计与管理学院 第2章 损失模型 * 基本模型 在这里， 称为个体索赔额，其分布称为损失分布； N称为索赔次数，E(N)称为索赔频率； 当N服从Poisson分布时， 称为复合Poisson 随机变量。 累积损失模型 * 的统计性质 ： N为取非负整数的离散型随机变量； 　　　　为具有同分布的连续型随机变量； N，　　　　　相互独立。 计算 . 首先计算 累积损失模型 * 所以 累积损失模型 * 从而 累积损失模型 * 计算S的均值与方差 累积损失模型 * 计算在t=0的值，得 累积损失模型 * 累积损失模型 * 总损失分布的计算： 其中 。 累积损失模型 * 总损失分布的计算： 当X的密度函数 有界，令 则 且对于任意的x0， 累积损失模型 * 总损失分布的计算： 当X的概率函数 有界，令 则 累积损失模型 * 例子 例已知某特定风险的赔款服从参数为 　　的对数正态分布，那么从400元到40000元的赔案在全部赔案中占多大比例？ 　 　,所以 则 * 例子 例　设某险种的赔款额X（千元)服从参数 　　的Pareto分布。如果有个该险种的超额再保险合同，自留额为4000元，那么涉及再保险接受人相应赔案的平均赔数是多少？ 　 　 * 例　设某个险种的某个保单持有人在保险期限内的索赔次数服从参数为q的Poisson分布。由于保单持有人的风险状况不同，所以q是一个随机变量，假设其服从Gamma分布，即 　　因此，对于某个确定了q的范围的保单持有人来说，其索赔次数分布为 　　 例子 * * * 损失模型 基本概念 损失次数模型 损失金额模型 累积损失模型 * 损失模型 损失和赔款 损失指的是保险标的在保险事故中遭到的实际损失额。常用一个随机变量来描述。 保险公司的赔款额是由保险标的的实际损失所决定的，但又并不总等于保险标的的损失额。 * 随机变量 随机变量的数字特征 母函数和矩母函数 条件期望和条件方差 基本概念 * 数学期望 方差 矩母函数：设X是随机变量，函数 称为X的矩母函数。 基本概念 * 矩母函数的性质： X的分布函数由其矩母函数唯一确定； 若X的k阶原点矩存在，则　　可微分s( )次，且 若　　　　　相互独立，且　　　　　　　 分别为它们的矩母函数，则 的矩母函数为 基本概念 * 若 　　　，a,b为常数，则随机变量Y的矩母函数为 基本概念 * 条件期望 如果X与Y是离散随机变量，对一切P(Y=y)0的y，定义给定的Y=y时，X的条件分布列为 给定Y=y时， X的条件分布为 　 　 基本概念 * 条件期望 给定Y=y时， X的条件期望定义为 　 　 基本概念 * 条件期望 如果X与Y是连续随机变量，有联合密度f(x,y)，对一切使 的y，定义给定的Y=y时，X的条件分布密度为 给定Y=y时， X的条件分布函数为 　 　 基本概念 * 条件期望 给定Y=y时， X的条件期望定义为 对于一切的随机变量，当期望存在时有， 　 　 基本概念 如果在条件期望和条件方差中Y不取定,那么 和 都是随机变量Y的函数，因而也是随机变量。关于这两个随机变量有如下重要性质： 基本概念 * 基本概念 * 基本概念 * 如果是连续型情况时， 基本概念 如果X、Y是相互独立的两个连续型随机变量，它们的概率密度函数分别为 、 那么，X+Y的分布函数为： X+Y的概率密度函数为： 由对称性，还可以有: 我们可以用简单的记号： 表示上述两式。这里，运算符号*称为卷积。卷积运算可以推广到n个相互独立随机变量的情况和离散型随机变量的情况。卷积同样可运用于分布函数。事实上，卷积运算还可以推广到随机变量不相互独立的情况。 基本概念 非寿险公司建立适当的数学模型并用理论的统计分布来进行计算的主要原因：第一,在多数情况下能得到的经验数据都是不充分的，难以用构造经验分布的方法进行计算。第二，用理论分布对损失进行数量分析具有明显的优越性 。