2012年初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题总复习试题及解答.doc

2012年初中数学二次函数中的图形构建及存在性问题总复习试题及解答 一、二次函数中有关面积的存在性问题 例1（10山东潍坊）如图所示，抛物线与轴交于点两点，与轴交于点以为直径作过抛物线上一点作的切线切点为并与的切线相交于点连结并延长交于点连结 (1）求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标； (2）若四边形的面积为求直线的函数关系式； (3）抛物线上是否存在点，使得四边形的面积等于的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 强化训练 ★1、（10广东深圳）如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）． (2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标； (3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标． ★2、．矩形OBCD在如图所示的平面直角坐标系中，其中三个顶点分别为O(0，0)、B(0，3)、D(－2，0)直线AB交轴于点A(1，0)． (1)求直线AB的解析式； (2)求过A、B、C三点的抛物线的解析式，并写出其顶点E的坐标； (3)过点E作x轴的平行线EF交AB于点F．将直线AB沿轴向右平移2个单位，与x轴交于点G，与EF交于点H．请问过A、B、C三点的抛物线上是否存在点P，使得S△PAG＝S△PEH．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 26．（11·柳州）（本题满分6分）． 如图，一次函数y＝－4x－4的图象与x轴、y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过A、C两点，且与x轴交于点B． （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为D，求四边形ABDC的面积； （3）作直线MN平行于x轴，分别交线段AC、BC于点M、N．问在x轴上是否存在点P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有满足条件的P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 24、（2011?海南）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+9﹣b2（b为常数）经过坐标原点O，且与x轴交于另一点E．其顶点M在第一象限． （1）求该抛物线所对应的函数关系式； （2）设点A是该抛物线上位于x轴上方，且在其对称轴左侧的一个动点；过点A作x轴的平行线交该抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于点B．DE⊥x轴于点C． ①当线段AB、BC的长都是整数个单位长度时，求矩形ABCD的周长； ②求矩形ABCD的周长的最大值，并写出此时点A的坐标； ③当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积是否也同时取得最大值？请判断井说明理由． 考点：二次函数综合题。 分析：（1）已知抛物线过原点，代入求得b值而求出二次函数解析式； （2）①关键在于正确作出旋转后的图形，结合几何知识，利用数形结合的思想求解； ②应当明确矩形ABCD进行求解，逐一讨论求解，要求思维的完备性． ③代入得到二次函数，而进行讨论解得． 解答：解：（1）由题意代入原点到二次函数式 则9﹣b2=0， 解得b=±3， 由题意抛物线的对称轴大于0， ， 所以b=3， 所以解析式为y=﹣x2+3x； （2）根据两个三角形相似的条件，由于在△ECD中，∠ECD=60°， 若△BCP与△ECD相似，则△BCP中必有一个角为60°， 下面进行分类讨论： ①当P点直线CB的上方时，由于△PCB中，∠CBP＞90°或∠BCP＞90°， ∴△PCB为钝角三角形， 又∵△ECD为锐角三角形， ∴△ECD与△CPB不相似． 从而知在直线CB上方的抛物线上不存在点P使△CPB与△ECD相似； ②当P点在直线CB上时，点P与C点或B点重合，不能构成三角形， ∴在直线CB上不存在满足条件的P点； ③当P点在直线CB的下方时，若∠BCP=60°，则P点与E1点重合， 此时，∠ECD=∠BCE1，而， ∴， ∴△BCE与△ECD不相似， 若∠CBP=60°，则P点与A点重合， 根据抛物线的对称性，同理可证△BCA与△CED不相似， 若∠CPB=60°，假设抛物线上存在点P使△CPB与△ECD相似， ∴EF=sin60°×4=2，FD=1， ∴ED==， ∴当矩形ABCD的周长取得最大值时，它的面积能同时取得最大值． 点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的到大知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 26．（11·清远）如图9，抛物线y＝(x＋1)2＋k 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C (0，－3)． （1）求抛物线的对称轴及k的值； （2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA＋PC的值最小，求此时点P的坐标； （3）点M是抛物线上一动点，且在第三象限． ① 当M点运动到何处时，△A