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关于三角形旁切圆与半内切圆半径的几个平方型
华南师范大学学报 (自然科学版)
2014年8月 JOURNALOFSOUTHCHINANORMALUNIVERSITY
初等数学研究
Aug.2014 (NATURALSCIENCEEDITION)
文章编号:1000-5463(2014)S2-0016-05
关于三角形旁切圆与半内切圆半径的几个平方型不等式
杨志明
(广东广雅中学,广州510160)
摘要:从不等的角度探讨了三角形旁切圆与半内切圆半径的5个平方型不等式.
关键词:旁切圆;半内切圆;平方型不等式
[1] 2
1995年,熊光汉 给出了半内切圆的定义: (4R+r), (s-a)=sr,及三角形常用不等式:
r
[1]
定义1 与三角形的外接圆相内切,又与三 2 2
欧拉不等式R 2r,Grretsen不等式16Rr-5r s
≥ ≤ ≤
角形的两边相切的圆,叫做三角形的半内切圆. 2 2
4R +4Rr+3r.
[1]
并且得出了以下性质 :
首先给出如下2个引理.
设 ABC的外心为O,半外切圆圆心为I,半径
△ 1
1 1 1 4R+r 1 1
为r(后面问题仍用它们表示),AI与 O相交于 引理1 + + = , + +
1 1 ⊙ R R R 2Rr RR RR
A B C A B B C
P,延长AO交 O于Q,连结PQ、PB.则有 2 2 2
⊙
1 s+(4R+r) 1 s
性质1 与 ABC的边AB、AC相切的半外切圆 = 22 , = 23.
△ RR 16Rr RRR 16Rr
C A A B C
r 2
的半径为 a ,其中r为 ABC旁切圆半径. 4Rr
2 a △ 证明 由文献 [2]知,R =
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