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第3章 微分运动和速度 §3.1 微分关系 §3.2 雅克比矩阵 §3.3 坐标系的微分运动 举例说明： 简单的旋转机器人和斯坦福机械手臂 区别：构型不同 结果：要产生类似（相同）的机械手速度，所要求的关 节速度会有所不同。由此可知： 对于上述的任何一种机器人，手臂是否能够完全地伸展 以及能否指向任意方位，都需要将其转化为不同的关节 速度从而产生相同的手的速度。 我们可以通过雅克比矩阵建立关节运动与手运动之间的 联系，如下所示： 习题 1.假设手坐标系的位姿用如下的伴随矩阵来表示。若绕Z轴做0.15弧度的微分旋转，再做[0.1，0.1，0.3]的微分平移，思考这样的微分运动将产生怎样的影响，并求出手的新位置。 习题 1.假设手坐标系的位姿用如下的伴随矩阵来表示。若绕Z轴做0.15弧度的微分旋转，再做[0.1，0.1，0.3]的微分平移，思考这样的微分运动将产生怎样的影响，并求出手的新位置。 5. 给定机器人的手坐标系和相应的雅克比矩阵。对于给定关节的微分变化，计算手坐标系的变化、新位置和相应的△。 解：由题意得： 完毕 对于下面两行也可以同样处理。但是，因为没有哪个方程可以普遍适用于绕三条轴的转动。因此我们需要用不同的方法对他们进行计算。 事实上，相对于最后一个坐标系T6的雅克比矩阵的计算要比相对于第一个坐标系简单的多。因此，我们将用下面的方法进行计算。 将相对于最后一个坐标系的速度方程写成： 此时，意味着，用相同关节的微分运动来左乘最后一个坐标系的雅克比矩阵，则可得到机器人首相对于最后一个坐标系的微分运动。我们可以用以下简单的方程来计算最后一个坐标系的雅克比矩阵： 方程的微分运动关系可以写成： 假设A1,A2……An的任意组合可以用相应的n,o,a,p矩阵表示，则矩阵中相应的元素可以用来计算雅可比矩阵。 如果所考虑的关节i为旋转关节，那么： 如果所考虑的关节i为滑动关节，那么： 例题 例题 3.7 建立雅可比矩阵和微分算子之间的关联 在讨论过雅可比矩阵和微分算子之后，我们将二者联系到一起。 假设机器人的关节移动一个微分量，由式3.10以及已知的雅可比矩阵可以计算出[D]矩阵，它包括了 的值(机器人手的微分运动)。先求微分算子。然后计算dT，由此来确定机器人手的新位姿。这样，机器人关节的微分运动就与机器人手坐标系联系起来了。 例题 3.8 雅可比矩阵求逆 为了计算机器人关节上的微分运动(或速度)以得到所需要的手的微分运动(或速度)，需要计算雅可比矩阵的逆，并且将它用于下列方程： 这就是说，知道了雅可比矩阵的逆，就可以计算出每个关节需要以多快的速度运动，才能使机器人的手产生所期望的微分运动获达到期望的速度。实际上，微分运动分析的主要目的是分析而不是进行计算。 我们知道，雅可比矩阵中所有元素的实际值都是时变的，因此，虽然雅可比矩阵的符号方程相同，但他们的数值改变了。所以我们为了能够在每秒内计算出足够多的精确关节速度，需要保证计算过程非常高效和快速，否则，结果将是不精确的。 常用的雅可比矩阵求逆的方法是，可以用逆动力学方程来计算关节的速度。 方法如下： 我们可以看到，根据6个微分方程可求得6个关节微分值，我们可以对机器人控制器进行编程，进而驱动机器人关节。 习题 0 0 0 45° 6 90 0 0 0° 5 -90 15” 0 90° 4 0 15” 0 0° 3 0 15” 0 90° 2 90 0 0 0° 1 a d # 解： * * 学习内容：1 微分关系 2 坐标系以及关节的微分运动 3 雅克比矩阵的相关运算及其与速度之 间的关系 学习重点：雅克比矩阵的计算 1 微分关系的概念 微分运动就是指机器人的微小运动，而微分关系是指微分运动与速度之间的关系。 2 微分关系的理论推导 下面这幅图是具有两个自由度的简单机构。其中每个连杆都能独立旋转， 表示第一个连杆相对于参考坐标系的旋转角度， 表示第二个连杆相对于第一个连杆的旋转角度。 微分关系 让我们计算一下B点的速度 根据物理学中的相关公式，可以得到 接下来让我们对B点的位置方程求微分 方程两边对 和 求微分，可得到 可以看到，微分方程与速度方程极为相似，只不过二者表达的物理含义