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牛顿-莱布尼茨公式-显然--按定义计算定积分非常困难-
返回 后页 前页 显然, 按定义计算定积分非常困难, §2 牛顿--莱布尼茨公式 须寻找新的途径计算定积分. 在本节中, 将介绍牛顿—莱布尼公式, 从而建立了 定积分与不定积分之间的联系, 大大简 化了定积分的计算. 若质点以速度 v = v (t) 作变速直线运动,由定积分 注意到路程函数 s(t) 是速度函数 v (t ) 的原函数, 定义,质点从时该a到b所经过的路程为 . 另一方面, 质点从某时刻 a 到时刻 b 所经过的路 于是 程记为 s(b)- s(a), 则 因此把定积分与不定积分联系起来了, 这就是下 面的牛顿—莱布尼茨公式. 定理9.1 (牛顿—莱布尼茨公式) 函数 f 在 [a, b] 上满足条件: (i) f 在 [a, b] 上连续; (ii) f 在 [a, b] 上有原函数 F, 则 (1) f 在 [a, b] 上可积; 证 因 f 在 [a, b] 上一致连续, 则 任取 又 F 在 上满足拉格朗日中值定理条件, 于是 注1 以后将证明, 若 f 在 [a, b]上连续, 则 f 在 [a, b] 注2 条件 (i)不是必要条件, 以后将举例说明, 存在 例2 解 上必有原函数 F (x). 因此条件 (ii) 是多余的. 函 数 f 在 [a, b] 上有间断点, 但 f 在 [a, b]上仍可 积. 例3 解 例4 解 用牛顿—莱布尼茨公式还可以求一些和式的极限. 例5 解 上黎曼和的极限.其中分割和介点分别为 因此 例6 解 令
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