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生动讲解中国剩余定理
孙子定理The Chinese Remainder Theorem;
韩信点兵
韩信带贰仟伍佰士兵出去打仗,回营后,刘邦问士兵人数。韩信让士兵先列成五行纵队,末行一人;列成六行纵队,末行五人;列成七行纵队,末行四人;列成十一行纵队,末行十人。韩信立刻回答二千一百一十一人。刘邦惊为天人!;物不知数问题 ——《孙子算经》;物不知数问题的解;;;孙子定理 设m1,m2,…,mk 是 k 个两两互素的正整数,m= m1m2…mk , Mi =m/ mi (i=1,…,k ),则同余方程组
x ≡b1 (mod m1); x ≡b2( mod m2); …… ; x ≡bk (mod mk )
有唯一解
x ≡ M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk(mod m)
其中MiNi≡1 (mod mi) (i=1,…,k)。
;证明:因为(mi,mj)=1,i?j,则 (Mi, mi)=1,对每个Mi,都存在Ni,使得
MiNi ≡1 (mod mi)
又m=mi Mi ,故mj |Mi , i?j,即
MiNi≡0 (mod mj)
则M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk≡ bi (mod mi).因此
x≡M1 N1b1+ M2 N2b2+…+ Mk Nk bk (mod m)是同余方程的整数解。
;如果y也是上???同余方程的解,则满足
x?y(mod m1); x?y(mod m2); …; x?y(mod mk)
即m1 |(x-y), m2 |(x-y),…, mk |(x-y).所以
m|(x-y)
即x?y(mod m). 即证方程在模m条件下有唯一解。
;解:应用孙子定理
m1 =5, m2 =6, m3=7, m4 =11;
b1 =1, b2 =5, b3=4, b4 =10;
m=5?6?7?11=2310;
;南宋秦九韶对“物不知数”问题进行推广,得到求解一次同余方程组的一般方法,定名“大衍求一术”。
欧拉和高斯在研究一次同余式问题时,得到与秦九韶“大衍求一术”相同的定理,因此被国外学者称为“中国剩余定理”。
近世代数的发展赋予中国剩余定理更崭新的生命,不仅可以解决整数同余问题,还可以推广到一般交换环中。;
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