研究生数值分析(23-24-25)Newton-Cotes求积公式.pptVIP

求得 如果将积分区间[0,1]划分为4等分，取n=4 应用复合辛普森公式 求得 比较 与 点的函数值，工作量基本相同，然而精度却差别 只有2位有效数字， 有7位有效数字。 的结果，它们都需要提供9个 很大， 例3 利用复合辛普森公式 计算积分 的近似值，使截断误差不超过 并用同样点按复合梯形公式和复合科茨公式重新计算近似值。 * * 将积分区间[a，b]等分，取分点 作为求积节点，并作变量替换 §3 Newton-Cotes求积公式 将积分区间的等分点作为求积节点，构造出来的求积公式称为牛顿-科茨（Newton-Cotes）公式。 1、牛顿-科茨公式 的求积系数 为 那么插值型求积公式 则 于是得相应的插值型数值积分公式 这就是一般的牛顿—科茨公式， 称为科茨系数。 ④ 若记 ③ 其中 从科茨系数公式③可以看出，科茨系数 的值与积分区间及被积函数都无关。只要给出了积分区间的等分数n，就能算出 例如，当 n=1时，有 相应的牛顿—科茨公式为 这就是前面提到的梯形公式。 ⑤ 当 n=2时，有 相应的牛顿-科茨公式为 辛普森公式的几何意义就是用通过A,B,C三点的抛物线 代替y= f(x)所得曲边梯形的面积。 ⑥ 这个公式称为辛普森（Simpson）公式。 如图所示 为了便于应用，我们把部分科茨系数列在下表中。利用这张科茨系数表，可以很快写出各种牛顿—科茨公式。 6 5 4 3 2 1 n 例如，当 n=4时，有 其中 下面，我们给出梯形公式，辛普森公式和科茨公式的截断误差（余项）和它们的代数精度的几个结论。 ⑦ 这个公式称为科茨（Cotes）公式。 定理3 若 在[a , b]上连续，则梯形公式⑤ 若 在[a,b]上连续，则辛普森公式⑥ 若 在[a,b]上连续，则科茨公式⑦ 的余项为 的余项为 的余项为 证 1、 因 在[a , b]上连续， 由Newton-Cotes求积公式的截断误差 且 n=1，h=b-a 得到梯形公式的截断误差 其中 。 请推到此式 故根据积分中值定理，必存在 使得下式成立 其中 。 上连续。 在 上连续以及 t(t-1)在区间(0,1)内不变号， 在 设 由于 的截断误差为 可以看出，梯形公式具有一次代数精度。 因此，梯形公式 辛普森公式 截断误差为 可以看出，辛普森公式具有三次代数精度。 科茨公式 截断误差为 可以看出，科茨公式具有五次代数精度。 定理4 梯形公式⑤的代数精度为1； 辛普森公式⑥的代数精度为3； 科茨公式⑦的代数精度为5。 梯形公式 辛普森公式 科茨公式 其中 在实际计算中，我们常用以下公式进行计算。 例3 试分别使用梯形公式和Simpson公式 计算积分 的近似值，并估计截断误差。 解：用梯形公式计算，得 截断误差估计为 用Simpson公式计算，得 截断误差估计为 §4 Newton-Cotes求积公式的 收敛性与数值稳定性 记 其中 是Newton-Cotes求积系数 今考察是否对任何在[a,b]上可积的函数f (x)都有 这是Newton-Cotes求积公式 的收敛问题。 先看一个例子， 此时有 In(f)的一些计算结果如表 5.4902 2.2776 3.3288 1.9411 3.5956 2 4 6 8 10 In(f) n 从表可以看出，当n→∞时，In(f)不收敛于I(f)。这说明，Newton-Cotes求积公式并不是对所有在[a，b]上可积的函数都收敛。 多节点的Newton-Cotes求积公式的数值稳定性是没有保证的。 为了提高计算结果的精度，常常采用复合求积的方法。 复合求积，就是先将积分区间[a,b]分成几个小区间 然后在每个小区间上计算积分 §4 复化求积公式 的近似值。用此方法得到的数值积分公式，统称为复合求积公式。 的近似值并取它们的和作为整个区间[a，b]上的积分 其中 上应用梯形公式 称为步长 比如，在小区间 的近似值 于是 得积分 若将近似值记作 ，并注意到 和 则由上式可得复合求积公式 用类似方法可以导出复合辛普森公式 该公式称为复合梯形公式。 和复合科茨公式 其中 下面我们直接给出复合梯形公式，复合辛普森公式和复合科茨公式的截断误差（余项）的结论。 定理5 若 在积分区间[a，b]上连续， 若 则复合辛普森公式的余项为 则复合梯形公式的余项为 在积分区间[a，b]上连续， 若 则复合科茨公式的余项为 在积分区间[a，b]上连续， 证明略 例2 对于 利用数据表计算积分 4.00000