第1章条件概率-全概率公式(二).pptVIP

及 由全概率公式, 得 再由公式⑼得 例38　某架飞机有可能飞过三城市上空, 飞过甲地的概 解 设 表示飞机飞过甲、乙、丙三城市的上空, 率为0.2; 飞过乙地的概率为0.5; 飞过丙地的概率为0.3; 当飞机飞过城市, 有可能被击落, 击落的概率分别为 现已知飞机被击落, 问飞机在哪个城市上 空被击落的可能性最大？ 表示飞机被击落, 则由已知条件得: 及 则由全概率公式得, 再由贝叶斯公式⑼得: 所以, 在乙城市上空被击落的可能性最大. 例39 三人独立向一飞机射击, 命中率分别为 解 设 分别表示第一、二、三人击中飞机, 则 又设 表示有一人击中飞机, 则 已知飞机被一人击中而被击落的概率为0.4, 如果被二人 击中, 被击落的概率为0.7, 三人击中, 则飞机一定被击 落. 求飞机被击落的概率. 上式中的事件是两两互不相容的, 因而有 设 表示飞机被击落, 则由已知条件得 及 和 最后设 表示有三人 同理, 设 表示有二人击中飞机, 则有 击中飞机, 则有 及 由全概率 公式得 例40 （桥式系统） 设一个系统由 个元件组成, 连接 方式如下图. 每个元件的可靠度都是 每个元件是否 正常工作是相互独立的, 试求这个桥式系统的可靠度. 当元件 正常时, 系统相当于下图所示一个混联系统: 解 记 表示元件 处于正常工作, 表示系统正常. 因而可靠度为 若 不发生时, 系统如下图所示的混联系统: 因而可靠度为 由全概率公式得 七、部分作业解答 1.2 化简下列各式 ⑴ ⑵ 解 ⑴ ⑶ ⑵ ⑶ 1.3 某建筑物倒塌（记为事件 ）的原因有以下三个: 1.地震（记为事件 ）；2.台风（记为事件 ）; 3.暴 雨（记为事件 ）. 已知台风时必有暴雨, 试用简明的 形式表达下列事件 解 3.独立性在可靠性问题中的应用 可靠性问题是系统设计, 产品质量控制中的一类重要 问题. 在以下讨论中, 假设各元件是否能正常工作是相互独 立的. 解 设 表示各部件正常, 靠度为 因此系统的可靠度为 例27 设一个系统由 个元件串联而成, 第 个元件的可 试求这个串联系统的可靠度. 表示系统正常, 则系统正常等价于每个部件正常. 这样的问题称为串联系统问题. 例28 设某台设备由六部件组成, 已知该设备出故障 解 设 表示各部件正常, 表示设备正常, 又 每个部件都出故障. 又, 每个部件工作出故障的可能性 为 求设备正常工作的概率. 则有 该问题称为并联系统问题. 例29 设一个系统由 个元件组成, 其连接方式如图所 示, 试求这个混合系统的可靠度. 解 元件 组成一个并联系统, 相应的可靠度为 该系统与元件 组成一个串联系统, 此时可靠度为 最后与元件 构成并联系统, 故相应的可靠度为 ⑴贝努利试验 目标是相互独立的. 则称这个试验为贝努利试验, 相应的数学模型称为贝努 4.贝努利概型和二项概率 甲、乙、丙 名射手向同一目标射击, 把每个射手的 射击看做是一个试验, 共有 个试验. 假定每个射手射中 假定 个试验的试验结果是相互独 立的, 便称这 个试验相互独立. 如果在 次试验中, 我们只关心某个事件 是否发生, 利概型. 通常记 则 如果把贝努利试验独立地重复做 次, 这 个试验合在一 起称为 重贝努利概型. 设事件 表示“ 重贝努利试验中事件 恰好发生 次” 在指定的 次试验中发生 而其余的为 的概率为: 注意到, 这样的指定方式总共有 个, 所以所求概率 为 又因为这样的概率仅和数 有关, 因而上式常常简记 为 通常又称上式为二项概率. ⑺ 例30 抛起一枚均匀的硬币 次, 试求恰出现 次正面向 上的概率.