第3章-解线性方程组的数值解法2-LU分解法.pptVIP

3.2 矩阵的三角分解法 我们知道对矩阵进行一次初等变换，就相当于用相应的初等矩阵去左乘原来的矩阵。因此我们这个观点来考察Gauss消元法用矩阵乘法来表示，即可得到求解线性方程组的另一种直接法：矩阵的三角分解。 3.2.1 Gauss消元法的矩阵形式 3.2.2 Doolittle分解 Doolittle分解 若矩阵A有分解：A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，则称该分解为Doolittle分解，可以证明，当A的各阶顺序主子式均不为零时，Doolittle分解可以实现并且唯一。 A的各阶顺序主子式均不为零，即 Doolittle分解 Doolittle分解 Doolittle分解 Doolittle分解 Doolittle分解 Doolittle分解 例题 例题 例题 例题 例题 Doolittle分解 3.2.3 对称矩阵的Cholesky分解 在应用数学中，线性方程组大多数的系数矩阵为对称正定这一性质，因此利用对称正定矩阵的三角分解式求解对称正定方程组的一种有效方法，且分解过程无需选主元，有良好的数值稳定性。 对称矩阵的Cholesky分解 A对称：AT=A A正定：A的各阶顺序主子式均大于零。即 对称矩阵的Cholesky分解 由Doolittle分解，A有唯一分解 对称矩阵的Cholesky分解 定理3.2.4 设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解A=LDLT，其中L为单位下三角阵，D=diag(d1,d2,…,dn)且di0(i=1,…,n) 对称矩阵的Cholesky分解 证明： 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 对称矩阵的Cholesky分解 证明： Cholesky分解的求法 Cholesky分解的求法 Cholesky分解的求法 Cholesky分解法 改进Cholesky分解法 改进的cholesky分解A=LDLT 改进的cholesky分解 改进的cholesky分解 改进的cholesky分解算法 改进的cholesky分解算法 例题 例题 例题 例题 A=LDLT分解，既适合于解对称正定方程组，也适合求解A为对称，而各阶顺序主子式不为零的方程组 而对A=LLT只适合于对称正定方程组 3.2.4 三对角方程组求解的追赶法 三对角方程组求解的追赶法 三对角方程组求解的追赶法 三对角方程组求解的追赶法 三对角方程组求解的追赶法 其计算工作量为5n-4次乘除法。工作量小，其实现的条件为qi不为零。有以下定理可得证三对角矩阵求解的充分性条件。 解三对角矩阵线性方程组的追赶法程序框图 3.3 矩阵求逆 矩阵求逆 矩阵求逆 Gauss—Jordan原地求逆法 为使求逆过程不断提高求解精度，因此增加选主元工作，最常用的是选列主元求逆。因此增加一个数组Z(n)，记录选主元的交换号，最后在消元工作完成后，根据Z(n)对A中的元素进行相应的列交换，得到A-1 算法（原地求逆法） 例题 例题 例题 例题 例题 例题 Cholesky分解法缺点及优点 优点：可以减少存储单元。 缺点：存在开方运算，可能会出现根号下负数。 * * 推论：设A为对称正定矩阵，则存在唯一分解 其中L为具有主对角元素为正数的下三角矩阵。