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第4章 机器人动力学 机器人技术公共选修课 裴忠才 唐志勇 2018-3-8 机器人动力学 0 概述 1 惯性矩 2 牛顿、欧拉运动方程式 3 拉格朗日运动方程式 4 机械手动力学方程 机器人技术公共选修课 2018-3-8 0. 概述 机器人技术公共选修课 2018-3-8 3 机器人是主动机械装置，原则上，它的每个自由度都具有单独传动。从控制的观点来看，机械手系统是冗余、多变量和本质非线性的自动控制系统，也是复杂的动力学耦合系统。每个控制任务本身就是一个动力学任务。因此研究机器人的动力学问题就是为了进一步讨论控制问题。 为使机器人连杆加速，驱动器必须有足够大的力和力矩来驱动机器人连杆和关节，以使他们能以期望的加速度和速度运动，否则连杆将因运动迟缓而损失机器人的位置精度。因此必须建立决定机器人运动的动力学关系方程，用来计算每个驱动器所需的驱动力。 0. 概述 机器人技术公共选修课 2018-3-8 4 方法： 1 牛顿—欧拉法； 2 拉格朗日方法。 机器人动力学方程可以确定机器人的运动，但实际上除最简单的情况外，求解机器人的全部动力学方程几乎是不可能的。 作用： 1 确定力和力矩，以便在机器人连杆和关节上产生期望的加速度； 2 考察不同负载对机器人的影响及根据期望的加速度来考察某些负载的重要性； 0. 概述 机器人技术公共选修课 2018-3-8 5 牛顿欧拉法从运动学出发求得加速度，并消去各内作用力。拉格朗日方法，它只需要速度而不必求内作用力，是比较直接的方法。 对于动力学，有两个相反的问题：一是动力学的正问题：已知机械手各关节的作用力或力矩，求各关节的位移、速度和加速度。主要应用于仿真研究；二是动力学的逆问题：已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、速度、加速度求各关节所需要的驱动力或力矩。主要是实时控制的需要 一般机器人的动态方程由6个非线性微分方程联立表示，实际上除了一些简单的情况外，不可能求得方程的一般解。在实际控制时往往对动态方程作出某些假设，进行简化处理。 1. 惯性矩 机器人技术公共选修课 2018-3-8 6 首先，在图4－1里通过把质点的平移运动改作回转运动的分析，来了解惯性矩的物理意义。 若将力F作用到质量为m的质点时的平移运动，看作是运动方向的标量，则可以表示为： 式中： 表示加速度。若把这一运动看作是质量可以忽略的棒长为r的回转运动，则得到加速度和力的关系式为： 1. 惯性矩 机器人技术公共选修课 2018-3-8 7 式中， 和N是绕轴回转的角加速度和惯性力矩，将 和F代入上式得： 令 ，上式可以变为： （4－1） 式（4－1）是质点绕固定轴进行回转运动时的运动方程式，I相当于平动时的质量，称为惯性矩。 求质量连续分布物体的惯性矩时，可以将其分割成假想的微小物体，然后将微小物体的惯性矩加在一起，这时，微小物体的质量dm及其微小物体体积dV的关系可用密度表示为： 1. 惯性矩 机器人技术公共选修课 2018-3-8 8 那么，它的惯性矩为： 整个物体的惯性矩可用下式表示： 例4.1 求图4－2所示质量为M，长度为L的匀质杆（粗细忽略），绕其一端回转时的惯性矩I。 （4－2） 解：微小物体的质量用线密度（＝M/L）表示，所以其惯性矩为 。因此将dI在长度方向积分，即可得到： 1. 惯性矩 机器人技术公共选修课 2018-3-8 9 解：由于该杆是重心位于中心的匀质杆，因此，可先就杆的一半来求解，然后再加倍即可。假定x为离杆中心的距离，则得到： 例4－2 试求上例的杆绕重心回转时的惯性矩IC。 2. 牛顿、欧拉运动方程式 机器人技术公共选修课 2018-3-8 10 图4－3所示的单一刚体的运动方程式可用下式来表示： 式中，m（标量）是刚体的质量； 是绕重心C的惯性矩阵；FC是作用于重心的平动力；N是惯性力矩；Vc是重心的平移速度；为角速度。 式（4－3）及式（4－4）分别被称为牛顿运动方程式及欧拉运动方程式。Ic的各元素表示对应的力矩元素和角加速度元素间的惯性矩。 （4－3） （4－4） 2. 牛顿、欧拉运动方程式 机器人技术公共选修课 2018-3-8 11 下面我们来求图4－4所示1自由度机械手的运动方程式。这种场合，由于关节轴制约连杆的运动，所以可以把式（4－4）的运动方程式看作是绕固定轴的运动。假定绕关节轴的惯性矩为I，取垂直纸面的方向为Z轴，则得到： 2. 牛顿、欧拉运动方程式 机器人技术公共选修课 2018-3-8 12 式中：g为重力常数； 是在第三行