第6-2讲-分配格和有补格.pptVIP

第6-2讲 分配格和有补格 1. 分配格 2.有界格 3.有补格 4.有补分配格 5. 课堂练习 1、分配格(1) 格中任意三个元素a,b,c存在分配不等式: a?(b?c)?(a?b)?(a?c) a?(b?c)?(a?b)?(a?c) 是否有成立分配等式的格呢?来看几个简单的例子： 1、分配格 (2) 定义1 设A,?,?是由格A,?诱导的代数系统。如果对任意a,b,c?A，满足 a?(b?c)=(a?b)?(a?c) a?(b?c)=(a?b)?(a?c) 则称A,?是分配格。 1、分配格 (3) 例1 判断下列各图是否为分配格？ 1、分配格 (4) 定理2 链是分配格。 1、分配格 (5) 定理3 设A,?是分配格，则对任意a,b,c?A，如果 a?b=a?c且a?b=a?c，则b=c。 2、有界格 (1) 定义2 设A,?是格，如果存在元素a?A，对任意x?A，都有a?x(x?a)，则称a为格A,?的全下界(全上界)。 2、有界格 (2) 定理5 设A,?是有界格，则对任意a?A，必有 a?1=1，a?1=a；a?0=a，a?0=0。 3、有补格 定义5 若有界格中，每个元素至少有一个补元，则称为有补格。 4、有补分配格 定义6 若一个格既是有补格，又是分配格，则称为有补分配格，也叫布尔格。 5、课堂练习 练习1 指出下图所示有界格中各元素的补元。 * * 右图所示三个偏序集都是格,它们都满足分配不等式，而且(1)和(2)还能使分配等式成立。(3)的情况就有些不同。 例如在(1)中： a?(b?c)=a?b=b;(a?b)?(a?c)=b?c=b 在(3)中： a?(b?c)=a?a=a;(a?b)?(a?c)=b?c=a 但 b?(d?c)=b?a=b;(b?d)?(b?c)=e?e=e 定理1 如果格中运算?对运算?可分配，则运算?对运算?可分配。反之亦然。 证：设a,b,c是格中任意元素，如果 a?(b?c)=(a?b)?(a?c) 则(a?b)?(a?c)=((a?b)?a)?((a?b)?c) =a?((a?b)?c)=a?((a?c)?(b?c)) =(a?(a?c))?(b?c)= a?(b?c) 类似可证 a?(b?c)=(a?b)?(a?c)? a?(b?c)=(a?b)?(a?c) 解： (1)、(4)是分配格。 (2)、(3)不是分配格。 在(2)中， b?(c?d)=b?e=b,(b?c)?(b?d)=a?a=a 在(3)中， d?(b?c)=b?e=b,(d?b)?(d?c)=a?c=c (2)b?a且c?a。这时必有b?c?a(上界)。进而有 a?(b?c)=b?c(格的性质8) 另一方面，由b?a且c?a可得：(a?b)?(a?c)=b?c 所以， a?(b?c)=(a?b)?(a?c) 证：设A,?是链，则A,?是格。对任意a,b,c?A，可分两种情况讨论： (1)a?b或a?c。这时，不论b?c还是c?b,应有 a?(b?c)=a和(a?b)?(a?c)=a 所以， a?(b?c)=(a?b)?(a?c) 证：b=b?(b?a) (吸收律) =b?(a?b) (交换律) =b?(a?c)（已知a?b=a?c） =(b?a)?(b?c) (结合律) =(a?c)?(b?c)（交换律，已知a?b=a?c） =(a?b)?c =(a?c)?c =c?(c?a)=c 格的全下界常记为0，全上界常记为1。 定理4 格的全下界(全上界)如果存在必唯一。 证：假设格A,?有两个全下界a和b，a,b?A。那么按全下界的定义，应有a?b和b?a同时成立，从而a=b。 例如，设S是有限集合，那么格??S?,?是有界格，其全下界是?，全上界是S。 定义3 具有全下界和全上界的格称为有界格。 证：因A,?是有界格，对任意a?A，应有0?a?1，由此式及格的性质8即可得上述四式。 定义4 设A,?是有界格，若对任意a?A，存在b?A，使a?b=1，a?b=0，则称b是a的补元。 例如，左图所示有界格中，d和c、d和e、a和e 、0和1互为补元，即a、c、d、e、0、1都有补元。但b没有补元。 证：设a有补元b、c，则有 a?b=1，a?b=0；a?c=1，a?c=0。 那么， a?b=a?c， a?b=a?c 所以，b=c（定理3）。 定理6 在有界分配格中，若某元素有补元，则必唯一。 将有补分配格中元素a的补