材料力学-第3章---4.ppt

小结 1、受扭物体的受力和变形特点 2、扭矩计算，扭矩图绘制 3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算 4、圆轴扭转时的变形及刚度计算 3. 静力学关系： O dA ? 令 代入物理关系式 得： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 —横截面上距圆心为?处任一点剪应力计算公式。 4. 公式讨论： ① 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。 ② 式中：T—横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 ? —该点到圆心的距离。 Ip—极惯性矩，纯几何量，无物理意义。 1. 变形几何关系： 2. 物理关系： 3. 静力学关系： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 单位：mm4，m4。 单位：mm4，m4。 ③ 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是Ip值不同。 对于实心圆截面： D ? d? O §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 对于空心圆截面： d D O ? d? §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： ④ 应力分布 （实心截面） （空心截面） 工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料，重量轻，结构轻便，应用广泛。 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 ⑤ 确定最大剪应力： 由 知：当 Wt — 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。 对于实心圆截面： 对于空心圆截面： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力 低碳钢试件： 沿横截面断开。 铸铁试件： 沿与轴线约成45?的螺旋线断开。 因此还需要研究斜截面上的应力。 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 1. 点M的应力单元体如图(b)： (a) M (b) ′ ′ (c) 2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)： (d) ? ′ ? x §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 (d) ? ′ ? x n t 转角规定： 轴正向转至截面外法线 逆时针：为“+” 顺时针：为“–” 由平衡方程： 解得： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 分析： 当? = 0°时， 当? = 45°时， 当? = – 45°时， 当? = 90°时， ′ 45° 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的剪应力为最大值；在方向角? = ? 45?的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 四、圆轴扭转时的强度计算 强度条件： 对于等截面圆轴： ([?] 称为许用剪应力。) 强度计算三方面： ① 校核强度： ② 设计截面尺寸： ③ 计算许可载荷： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 实心轴与空心轴 Ip 与 Wt 对比 §3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过30MPa,空心圆轴的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 实心轴 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大切应力不得超过40MPa,空心圆轴的内外直径之比 ? = 0.5。二轴长度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外直径D2；确定二轴的重量之比。 空心轴 d2＝0.5D2=23 mm §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 确定实心轴与空心轴的重量之比 空心轴 D2＝46 mm d2＝23 mm 实心轴 d1=45 mm 长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比： §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 已知：P1＝14kW,P2= P3=P1/2，n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm, d 2=50mm, d3=35mm. 求:各轴横截面上的最大切应力。 P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW n1=n2= 120r/min 解：1、计算各轴的功率与转速 M1=T1=1114 N.m M2=T2=557 N.m M3=T3=185.7 N.m 2、计算各轴的扭矩 §3-3、圆轴扭转时截面上的应力计算 例题4-3 3 3、计算各轴的横截面上的 最大切应力 §3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3 一、扭转时的变形 由公式 知：长为 l一段杆两截面间相对扭转角? 为 §3-5、圆轴扭转时的变形