2、第二章：应力和应变理论.ppt

应变协调方程的应用 思想：应变需满足应变协调方程。 例题：设物体变形时产生的应变分量为 试确定系数之间应满足的关系式。 解：该应变状态属于平面应变状态，应变分量应该满足变形协调条件： （1） 由应变分量可得 （2） 将式(2)代入式(1)，得 （3） 在物体内任意一点，即x、y为任意值时上式皆应成立，因此得 （4） 上式即为系数应该满足的条件。 应变分析小结（由厚到薄） 1. 思想：看线路图回忆查漏。 2. 需要记忆的公式 2.1. 几何方程（直角坐标下的三维和柱坐标系二维）； 3. 需要能熟练使用的部分。 几何方程和变形协调条件。 2.2. 变形协调条件(平面问题)。 应变分析路线图 位移 一点的应变状态：应变张量 斜向应变 最大正应变：主应变 最大剪应变 球应变张量 偏斜应变张量 几何方程 变形协调条件 八面体应变 塑性力学新增长点 弹性力学新增长点 应变率张量 应变增量张量 粘性和塑性力学新增长点 课后作业：P62：2-19、2-20 下周三上课时交。 2.3.2 八面体（图2-8）应力 八面体是由与主坐标系的坐标轴等倾的八个面(等倾面)组成的微元体。其中每个斜微分面的法线与三个坐标轴的夹角都相等，即 在八面体的面(等倾面)上，正应力和剪应力为 研究目的：构成塑性力学中的米泽斯屈服条件。 应力分析路线图 应力 一点的应力状态：应力张量 斜面应力 最大正应力：主应力 最大剪应力 强度理论：σr [σ] 组合变形强度问题 球应力张量 偏斜应力张量 平衡和运动方程 应力边界条件 八面体应力 塑性力学新增长点 弹性力学新增长点 §2.4 球形应力张量、偏斜应力张量、应力空间 2.4.1 球形应力张量和偏斜应力张量 应力张量可以分解为应力球形张量（球张量） 和应力偏斜张量（应力偏量） 式中 分别与应力张量有类似表达式的不变量Ki (球)和Ji (偏) (i=1,2,3) 。 研究目的：球张量基本上引起纯弹性的体积膨胀(或收缩) ； 应力偏量基本上引起塑性的畸变变形 ； 例如： 2.4.2 应力空间 1、应力空间和主应力空间（P35） 2、主应力空间中的π平面（图2-10） 其上各点表示的应力张量为偏斜张量 。 3、主应力空间中的静力应力线 其上各点表示的应力张量为球张量 。 结论：应力空间中的任一应力状态矢可分解为两个正交的分量OQ和ON。 研究目的：可直观地进行应力分析。 应力分析路线图 应力 一点的应力状态：应力张量 斜面应力 最大正应力：主应力 最大剪应力 强度理论：σr [σ] 组合变形强度问题 球应力张量 偏斜应力张量 平衡和运动方程 应力边界条件 八面体应力 塑性力学新增长点 弹性力学新增长点 §2.5 平衡微分方程 2.5.1 笛卡儿坐标系中的平衡微分方程 利用微元体（图2-11）的力平衡条件 ，得到平衡微分方程，又称纳维方程 。 根据达朗贝尔原理则可由上式直接导出运动微分方程。 式中fi为体积力，ρ为材料密度。 ui为位移分量，t为时间。 利用微元体的力矩平衡条件 ，得剪应力互等定理 。 笛卡儿坐标系下，平衡(或运动)微分方程式(2-67)为 或 2.5.2 正交曲线坐标系中的平衡微分方程 柱坐标中的平衡微分方程 式(2-73) 球坐标中的平衡微分方程 式(2-74) 书中有误！ 平衡微分方程与应力边界条件的比较记忆 平衡微分方程 的应用 思想：应力解须同时满足平衡方程和应力边界条件 题目类型（并不局限于此）： （1）确定给出的应力是否满足平衡方程和应力边界条件； 例题：试证明如下各组应力分量满足平衡方程（体力为零）。 式中Q、α、C1、C2、C3、…为常数。 （2）利用平衡方程和应力边界条件确定应力表达式中的待定常数； 例题：已知应力分量为 式中Q为已知常数。试利用平衡方程求系数C1、C2和C3（体力为零）。 解：将应力分量代入平面应力状态下的平衡方程： （1） 有 （2） （3） 考虑的到坐标x和y的一般性，由式(2)得 （4） （5） 联列式(3~5)得 （3）利用平衡方程和应力边界条件求应力 例题：如图所示为一在均布载荷作用下的矩形截面梁。试根据材料力学写出σx和τxy公式，然后验证该公式是否满足平衡方程和边界条件，并导出σy的表达式。 解：由材料力学得到应力σx和τxy为 （1） 对于平面应力问题的平衡方程为 （2） 将(1)代入(2)，第一式自动满足，由第二式得 （3） 在梁的上下表面的应力边界条件为 （4） （5） 将式(3)代入(4)，得 （6） 至此，式(1)和(3)确定了σx、σy和τxy。 显然，它们已经满足平衡方程(2)。进一步将它们代入式(5)。可知亦满