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§1 矢势及其微分方程 二．矢势满足的方程及方程的解 2．矢势的形式解 5．矢量泊松方程解的唯一性定理 2. ? 电流分布在外磁场中的相互作用能 * * 第六章 静磁场的求解方法 本章重点： 1、矢势的引入和它满足的微分方程、静磁 场的能量 2、引入磁标势的条件及磁标势满足的方程 与静电势方程的比较 3、了解A-B效应和超导体的电磁性质 本章难点：利用磁标势解决具体问题 §1 矢势及其微分方程 一、稳恒电流磁场的矢势 1．稳恒电流磁场的基本方程 稳恒电流磁场：传导电流（即运动电荷）产生的不 随时间变化的磁场。 基本方程 边值关系 本节仅讨论 情况，即非铁磁的均匀介质。这种情况静电场和磁场可以分离，不发生直接联系。 实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时，在这个参照系中观测，只有静电场。 2．矢势的引入及意义 静电场 物理意义： （a） 与 的关系 其中S 为回路L 为边界的任一曲面 （b）磁通量只与曲面L的边界有关，与曲面的具体形状无关 （c）物理意义 ３、矢势的不唯一性 令 可减少矢势的任意性 满足的方程？ 1． 满足的方程 （1）稳恒电流磁场矢势满足(矢量)泊松方程 （2）与静电场中 形式相同 （3）矢势为无源有旋场 已知电流密度，可从方程直接积分求解，但一般电流分布与磁场相互制约，因此一般情况需要求解矢量泊松方程。 3． 的解 这正是毕奥-- 萨伐尔定律 通过类比 4． 的边值关系 * 1 2 （a） （b） 特殊情况： ① 若分界面为柱面，柱坐标系中当 ② 若分界面为球面，当 z x y x z y 定理：给定V内传导电流 和V边界S上的　 或 　　　V 内稳恒电流磁场由　　　　 和边界 条件唯一确定。 三．稳恒电流磁场的能量 已知均匀介质中总能量为 1．在稳恒场中有 ② 不是能量密度。 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。 ③ 导出过程 最后一项称为相互作用能，记为 ， 可以证明： 作业（106页）：2，3，4，7，13，14 设 为外磁场电流分布， 为外磁场的矢势； 为处于外磁场 中的电流分布，它激发的场的矢势为 。总能量： §2. 磁标势 §2. 磁标势 原因：静电力作功与路径无关， 引入的电势是单值的；而静磁场 一般不为零，即静磁场作功与路径有关，即使在能引入的区域标势一般也不是单值的。 一．引入磁标势的两个困难 2．在电流为零区域引入磁标势可能非单值。 1．磁场为有旋场，不能在全空间引入标势。 语言表述：引入区域为无自由电流分布的单 连通域。 讨论： 1）在有电流的区域必须根据情况挖去一部分区域； 2）若空间仅有永久磁铁，则可在全空间引入。 用公式表示 显然只能在 区域引入，且在引入区域中任何回路都不能与电流相链环。 二．引入磁标势的条件 三．磁标势满足的方程 1．引入磁标势区域磁场满足的场方程 不仅可用于均匀各向同性非铁磁介质，而且也可讨论铁磁介质或非线性介质。 2．引入磁标势 3． 满足的泊松方程 4．边值关系 四．静电场与静磁场方程的比较 静磁场 静电场 静电势与磁标势的差别： 因为到目前为止实验上还未真正发现以磁单极形式存在的自由磁荷。对静磁场人们认为分子电流具有磁偶极矩，它们由磁荷构成，不能分开。? 静电场可在全空间引入，无限制条件；静磁场要 求在无自由电流分布的单连通域中才能引入。 ② 静电场中存在自由电荷，而静磁场无自由磁荷。 注意：在处理同一问题时，磁荷观点与分子 电流观点不能同时使用。 ③?虽然磁场强度与电场强度表面上相对应，但从物 理本质上看只有磁感应强度才与电场强度地位相 当。描述宏观磁场，磁场强度仅是个辅助量。 例题： 设x0半空间充满磁导率为 的均匀介质，x0的半空间为真空。有线电流I沿z轴流动。求磁感应强度和磁化电流分布。 x y z 设x0, ；x0， 。它们均满足拉普拉斯方程。 在柱坐标中： 解：将线电流表面及x=0,y0的界面挖去 磁化电流Im在z轴,介质面上无磁化电流。空间磁场由I、Im共同决定。磁场应正比于1/r，与z、 无关。 因H正比于1/r 常数 选 设 确定常数： 由安培环路定理： 代入即可得到解。然后利用 得磁化电流 (1) §3 矢势的多极展开 与电势的多极