代数多项式的友矩阵及其应用.docx

代数多项式的友矩阵及其应用杨志明(甘肃联合大学 数信学院 ,甘肃 兰州 730000)摘要 :该文以友矩阵的特征值为基础 , 讨论了形如“Pn ( x)= x n -a1 x n- 1 - a2 x n- 2 -an- 1 x - an ”的代-数多项式的友矩阵的一些简单性质 , 并给出了组合恒等式的几个通项公式以及形如“S ( n) = a ·S ( n - 1) + b·S ( n - 2) + c ·S ( n - 3) ”的递归数列的通项公式.关键词 :代数多项式 ;友矩阵 ;组合恒等式 ;递归数列中图分类号 :O151 . 21文献标识码 : A设实系数多项式= x n -a1 x n- 1a2 x n- 2Pn ( x)---an- 1 x - an ,则其友矩阵[ 1 ]a110a201a300an- 100an00 .A =ω00010不难验证| λI - A| = Pn (λ) ( 其中 I ,λ分别为单位矩阵和 A 的特征值) , 即 A 的特征值就是 P n ( x ) 的零点.友矩阵的性质性质 1| A| = ( - 1) n + 1 an .1性质 2当 an ≠0 时 , A 可逆 , 且0010010000ωA- 1=.0 10 a10 a20 an- 21an- 1----ananananan由此得 , 当 an 0 , 而 ai 0 ( i = 1 , 2 ,下面考察 n = 3 的特殊情形. 此时, n - 1) 时 , | A - 1 |≥0 ( A 的元素均非负) , 即 A 为单调矩阵.a110a201a30 .0x3a1 x2 - a2 x -p3 ( x) =-a3 , A =设 A 的特征值为λ1 ,λ2 ,λ3 ( 不妨设λ1 ≠λ2 ≠λ3 ) , 则a1 = λ1 +λ2 +λ3 , a2(λ1λ2+λ2λ3 +λ1λ3 ) , a3= λ1λ2λ3 .= -λ2λ2λ3221对矩阵 P = λ11λ21λ3 , 因为| P|1= (λ1 - λ2 ) (λ3 - λ2 ) (λ3 - λ1 ) ≠0 , 所以 P 可逆 , 且收稿日期 :2004211215 .作者简介 :杨志明 (19652) ,男 ,甘肃渭源人 ,甘肃联合大学数信学院副教授 ,主要从事计算数学研究.第 4 期杨志明 :代数多项式的友矩阵及其应用7λ2λ3λ1- λ3- λ1- λ2λ2- λ2λλ2- λλ2323 22 31λ2- λ2λ1λ2- λ3λ2P- 1=.1331| P |λ2- λ2λλ2- λλ2212 11 2由此解得λ1P- 1 AP =λ2.λ3一般地 , 有性质 3若 A 有 n 个互异的特征值λ1 ,λ2 ,,λn , 则存在可逆矩阵λn- 1λ2n- 1λnn- 11λn- 2λ2n- 2λnn- 21ωP =λ11λ21λn1使λ1λ2P- 1 AP =.ωλn其中 ai ( i = 1 , 2 ,, n) 与λi ( i = 1 , 2 ,, n) 的关系如下a1 = λ1 +λ2+λn ,+(λ1λ2+λ1λ3+λ1λn +λ2λ3 +λ2λ4+λ1λ2λn +λ2λ3λ4 ++λ2λn ++λ2λ3λn ++λn- 1λn ) ,+λn- 2λn- 1λn ,a2= -++a3 = λ1λ2λ3 +λ1λ2λ4 +1) n+1λ1λ2λn .= ( -an友矩阵的两个应用问题首先我们指出利用多项式的友矩阵可以导出组合恒等式的一些通项公式.2ab10就一元二次方程 f ( x) = x2 - a x - b = 0 来说 , 其友矩阵 A =, A 的特征值λ 就是方程的根 ,inm即λi = 1( i = 1 , 2) . 现记 A 的 k 次幂 A k 的特征值为λi, 并且 Cn 表示组合系数( k)m, 则a ± a2 + 4 b2不难验证有以下等式成立λ( n)i= aλi + bλi( n- 1)( n- 2) ( 0)(λi= 1 ,λi = λi , i = 1 , 2) ,( 1)于是便有λ( k)a ( aλi+ bλi+ b( aλi+ bλi( k - 2)( k - 3)( k - 3)( k - 4)))==ii+ bλi + 2 ab ( aλi + bλi + b aλi( k - 4)( k - 4)( k - 5)2 (( k - 5)+ bλi( k - 6))))=a3λ( k - 3)+ 3 a bλi + 3 ab λi+ b λi