华中科技大学《数理方程与特殊函数》课程——第二章.ppt

* 由于与方程相应的齐次方程且同时满足齐次 边界条件的固有函数系为 解 首先， 设所求的解为 例2 求解下列问题 其中 为常数。 (65) (66) * 例2 求解下列问题 其中 为常数。 (65) 解 再将 按上述固有函数系展成傅里叶级数 (67) 其中 (66) * 把(66)-(67)代入(65)的方程中可得 例2 求解下列问题 其中 为常数。 (65) 解 (67) (66) * 解 从而有 例2 求解下列问题 其中 为常数。 (65) (68) 在表达式(66)中利用(65)中的初值条件得 (66) (69) * 于是得如下常微分方程的初值问题 (68) 应用拉氏变换法或直接利用公式（64），得 (69) * 将 代入 即得所求解为 (66) 例2 求解下列问题 (65) * 固有函数法的解题步骤（一般）： 小结 1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开 2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开 如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接 进入下一步。 3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简， 并比较待定系数得到一个常微分方程 4.将利用初值条件得到步骤3中常微分方程的附 加条件。 然后求解常微分方程的初值问题。 5.将步骤4中得到的常微分方程初值问题的解 代回步骤1。 * 三、泊松方程(非齐次的拉普拉斯方程) 用固有函数法求解非齐次的拉普拉斯方程的边值 问题。 我们通过举例来说明求解这类问题的要点 与步骤。 例3 在以原点为中心以1为半径的圆内，试求 泊松方程 的解， 使它满足边界条件 解 由于区域是圆域， 作极坐标变换 并记 则问题归结为 * (71) (72) 由2.3节的讨论可知， 与(71)相应的齐次方程 满足单值性条件的固有函数满足 (41) 因此，与(71)相应的齐次方程且同时满足单值性 条件的固有函数系为 * (71) (72) 由固有函数法，设方程(71)的解为 (73) 将(73)式代入方程(71)化简得 比较上式两端关于 的系数， * (71) (72) (73) (74) (75) 可得 将边界条件(72)代入(73)式,则有 (77) (76) * (71) (72) (73) (74) (75) 可得 (76) 再根据函数 的有界性，得 (78) * (75) (76) (77) (78) 首先注意方程(75)(76)是齐次的欧拉方程，则 通解分别为 由条件(78)得 再由条件(77)得 因此， * (74) 通解为 由于方程(74)是非齐次的欧拉方程，则 (77) (78) 由条件(78)得 再由条件(77)得 故 * (73) 然后将 代入级数 则得定解问题(71)(72)的解为 化成直角坐标，则得 (71) (72) * (71) (72) 解法二 思路： 如果我们知道泊松方程的一个特解 则通过作函数变换 就可将泊松方程化成 拉普拉斯方程， 然后通过求解拉普拉斯方程的边值 问题来得到泊松方程的边值问题。 显然方程(71)有一个特解 令 则问题(71)(72)可化为 * 我们设这个拉普拉斯方程边值问题的解为 这个函数显然满足方程。 为了满足边界条件，则有 于是边值问题(71)(72)的解为 * 固有函数法的解题步骤（圆域上泊松方程） 小结 1.将所考虑的定解问题的解按固有函数系展开 2.将非齐次方程中的自由项也按固有函数系展开 如果自由项已经含有固有函数的形式，可直接 进入下一步。 3.将步骤1、2中的形式代入非齐次方程中化简， 并比较待定系数得到一个常微分方程 4.将利用有界性和边界条件求解步骤3中常微分 方程的相关问题。 5.将步骤4中得到的常微分方程初值问题的解 代回步骤1。 * 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) (P1) 思路1 将问题(P)的解看成两部分， 令 和 分别满足 * (P1) (P2) 和 固有函数法 分离变量法(或试探法) 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) * (Q) 思路2 (1)找出此泊松方程的一个特解 令 (2)将泊松方程化成拉普拉斯方程 可用分离变量法或试探法求解问题(Q) 对于如下泊松方程的边值问题而言： 补充 (P) * 几种常见的固有函数系的形式 (1) (2) (3) (4) 以上几种形式对于一维振动方程、热传导方程和 矩形域上的拉普拉斯方程是适用的。 圆域上的拉普拉斯方程对应的固有函数系为 (5) 小结 1. 卷积 预备知识：卷积与卷积定理 （关于Laplace变换的） P224 复变函数 2. 卷积定理 定理 记 （满足交换律、结合律、分配律） * 2.4 非齐次方程的求解问题 本节考察非齐次方程的定解问题，并介绍一种 常用的解法： 固有函数法