基于主成分聚类分析对区域教育综合发展水平评价.docx

文章编号:1003-2843(2012)01-0037-07基于主成分聚类分析对区域教育综合发展水平评价岳斯玮（重庆工商大学融智学院基础部,重庆400033）摘要:选取21个代表四川教育综合发展水平的指标,构建了一个四川教育综合发展水平的评价指标体系.通过主成分分析、聚类分析建立了评价模型,对四川教育综合发展水平做了全面深入的评价,揭示了四川教育发展中的不足,指出了今后四川教育发展的努力方向.关键字:主成分分析;聚类分析;教育评价中图分类号:O212doi：10.3969/j.issn.1003-2483.2012.01.09文献标识码：A进入21世纪后,随着我国经济的持续快速发展,我国的教育也在持续快速的发展,总体上来说,义务教育基本普及,学前教育和高中阶段的教育全面推进,高等教育也逐步进入大众化阶段.但是,在发展中还存在很多问题,教育不公平问题尤为突出,东、西部教育差距比较大.而在西部,本身由于经济条件的不足,自身的教育差距问题更是明显.四川作为西部大省,在西部的发展建设中有着举足轻重的作用,因此本文选取四川作为评价对象.近年来随着西部大开发的深入,四川经济、社会都在飞速发展,但四川人口素质水平偏低,长此下去必然制约四川经济的建设与发展[1].而基础教育是提高人口素质水平的关键,因此很有必要对四川基础教育发展水平进行评价和分析,本文通过主成分分析、聚类分析方法建立数学模型,选取代表四川教育发展水平的若干指标构建评价指标体系,对四川的基础教育水平综合发展水平进行深入的评价和分析,希望对四川的教育强省的建设提供一定的理论依据,对四川城市的和谐发展提供一定的参考价值.1评价方法及其原理1.1主成分分析方法主成分分析是把原来多个指标变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法.从数学角度来看,这是一种降维处理技术.在进行降维过程中,要求这些较少的综合指标既能尽量多反映原来较多指标变量所反映的信息,同时它们之间又是彼此独立的.因此,其最简单的形式就是取原来变量的线性组合,并且使组合后所得的新变量之间相互独立且代表性最好,所以,主成分分析方法的数学原理为[2]:设有n个样本,每个样品观测p项指标:X1,X2,…,XP.得到原始数据资料阵:?x11x12x22#xn2……x1p????x21x2p?X=??=(X1,X2,…,XP).##????xn1…xnp??我们定义其主成分为:收稿日期：2011-09-14作者简介：岳斯玮(1986-),男,四川省汉源县人,助教,硕士,研究方向:数理统计及其应用.E-mail:281693223@._3_8西_南民_族_大学_学报_·_自_然科_学版第38_卷?F1=a11X1+a21X2+…+ap1Xp,??F2=a12X1+a22X2+…+ap2Xp,??……?F=aX+aX+…+aX.p1p12p2ppp?其中,系数由以下原则决定:222(1)+a2i+…+api=1i=1,…,p;a1i(2)Fi与Fj(i≠j;i,j=1,2,…,p)不相关;(3)F1是X1,X2,…,XP的一切线性组合（系数满足上述方程组）中方差最大的,F2是与F1不相关的X1,X2,…,XP一切线性组合中方差最大的,···,Fp是与F1,F2,…,Fp?1都不相关的X1,X2,…,XP一切线性组合中方差最大的.根据主成分分析的数学原理可知,找主成分就是确定原来的指标变量在诸主成分Fi(i=1,2,…,p)的系数.从数学上容易证明,它们分别是指标变量X1,X2,…,XP的协方差矩阵∑的特征值所对应的特征向量.因此,可以把主成分分析的计算步骤归纳如下[3]:（1）从协方差矩阵Σ出发,先求出Σ的非零特征根,并依次大小排列为:λ1≥λ2≥…≥λp≥0;（2）求出p个特征根所对应的特征向量,并将其单位化,得到单位特征向量:?a11??a12??a1p???????a21a22a2pα1=??,α2=??,…,αp=??;??#??#??#????????ap1????ap2????app??ip∑λk/∑λk,（3）根据计算得到的特征值计算出累计贡献率:一般取特征值≥1或累计贡献率≥85%的特k=1k=1征值λ1,λ2,…,λm所对应的前m（m≤p）个主成分.这样表明取前m个主成分基本包含了全部测量指标所具有的信息,从而既减少了变量的个数又便于对实际问题的分析和研究.然后以单位特征向量作为组合系数写出主成分:Fi=a1iX1+a2iX2+…+apiXp,i=1,…,m.（4）构造综合评价函数.利用选取的前m主成分F1,F2,…,Fm做线性组合,其中组合系数为每个主成分Fip的方差贡献率λi/∑λk.这样就构造一个综合评价函数:k=1λ1λ2λmF=F+F+…+Fm.12p∑λkk=1p∑λkk=1p∑λkk=11.2聚类分析方法