人教版A版选修4-5第四讲：用数学归纳证明不等式举例(两课时)概要.ppt

归纳猜想： 探究型 探究型 探究型 利用数学归纳法解决探索型不等式的思路是：先通过观察、判断，猜想出结论， 然后用数学归纳法证明．这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探索型问题时． 归 纳 解：猜想当t＝3时，对一切正整数n使3nn2成立．下面用数学归纳法进行证明． 当n＝1时，31＝31＝12，命题成立． 假设n＝k(k≥1，k∈N＋)时，3kk2成立， 变式训练 则有3k≥k2＋1. 对n＝k＋1,3k＋1＝3·3k＝3k＋2·3k ≥k2＋2(k2＋1)3k2＋1. ∵(3k2＋1)－(k＋1)2 ＝2k2－2k＝2k(k－1)≥0， ∴3k＋1(k＋1)2， ∴对n＝k＋1，命题成立． 由上知，当t＝3时，对一切n∈N＋，命题都成立． 变式训练 另 解 * 第四讲 用数学归纳法证明不等式 吴川一中 高二数学备课组 陈智敏 高二【16、22】专用 人教版A 数学 选修4-5 这种证明方法就叫做______________. 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 证明当n取第一个值n0 时命题成立； 2. 假设当 n=k(k≥n0, k?N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立. 数学归纳法 那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立. 知识回顾 数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证n=n0时命题成立。 若n = k ( k ≥ n0 ) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 命题对从n0开始的所有的正整数n都成立。 归纳奠基 归纳递推 注：两个步骤,一个结论,缺一不可. 知识回顾 在完成了这两步骤以后，就可以断定命题对于从n0 开始 的所有正整数n都成立 “用上假设，递推才真” “找准起点，奠基要稳” 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确． 递推基础 递推依据 注 意： 1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k＋1中间的变化。 知识回顾 归纳法：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。 （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难） （结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） （1）完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。 （2）不完全归纳法,考察部分对象,得到一般结论的推理方法。 归纳法分为 完全归纳法 和 不完全归纳法。 如何解决不完全归纳法 存在的问题呢？ 必须寻找一种用有限个步骤，就 能处理完无限多个对象的方法。 归纳法 用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上,再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利用假设. 知识回顾 第四讲 用数学归纳法证明不等式 吴川一中 高二数学备课组 陈智敏 高二【16、22】专用 人教版A 数学 选修4-5 解:当n=1时，21, 当n=2时，4=4, 当n=3时，89, 当n=4时，16=16, 当n=5时，3225, 猜想:当n≥5时，2nn2. 比较2n与n2的大小 探 究 猜想正确吗? 我们怎样证明呢? 探究．比较2n与n2的大小 证明：（1）当n=5时，25=32，52=25，因此2552，即n=5时，结论正确； （2）假设当n=k(k≥5)时，这个命题是正确的，那么由2kk2得 这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的. 由（1）和（2）可以断定，这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确。 用数学归纳法证明不等式问题 例 题 例 题 归 纳 例 题 例 题 归 纳 巩固练习 巩固练习 巩固练习 巩固练习 小 结 作 业 第四讲 用数学归纳法证明不等式 吴川一中 高二数学备课组 陈智敏 高二【16、22】专用 人教版A 数学 选修4-5 知识回顾 [分析]　本题考查数学归纳法的应用，解答本题需要先对n取特值，猜想Pn