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Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广参考
Euclid空间上的线性泛函的内积刻画及推广
摘 要:本文在一般意义上讨论了Euclid空间上的线性泛函,寻找到了它能用内积来刻画的充要条件,并将结论进一步推广到双线性函数的情形,最后说明了本文的主要结论与F.Riesz定理关系.
本文得到的主要结论是:是Euclid空间上的线性泛函,则下列条件是等价的:
1)存在唯一的,使得,有;
2)或;
3).
关键词:Euclid空间;内积;线性泛函;双线性函数;零空间
The depiction and further generalizition of linear function in Eucclid Space
Abstract: In this paper ,we generally discuss linear function in Euclid space,found out the necessary and sufficient conditions that can be depicted by inner-product.Further gerneralize those results to dobuble linear function.At last,we illustrate the relation between the results of the paper and theory of F.Riesz.
The main result of this paper is :is linear function in Euclid space,then the conditions on the following are equal.
there exists only ,let, we have
or ;
.
Keywords: Euclid space; Inner-product; Linear function; Dobuble linear function;Zero-space
目 录
0 引言 …………………………………………………………………………… 3-4
1 预备知识及引理 ……………………………………………………………… 4-5
2 主要结果……………………………………………………………………… 5-13
2.1 Euclid空间上线性泛函的内积刻画 …………………………………… 5-9
2.2 Euclid空间上不能用内积刻画的线性泛函的存在性 ……………… 9-10
2.3 双线性函数的内积刻画 ………………………………………………10-13
参考文献 ………………………………………………………………………… 13
致谢………………………………………………………………………………… 13
0 引言
Cauchy曾用函数方程给出了实数域上的线性函数的公理化定义,该定义基于以下命题得到:
命题1 设是实数域到的一个连续函数,若对,有
,则,这里为常数.
美国数学家K.Gabriel在他的著作中取消了命题“是连续函数”这一假设,并利用连续函数的延拓原理进行了新的证明.
把线性函数这一概念拓广到一般的线性空间上,就是如下:
定义1 设是数域上的一个线性空间,映射称为上的线性函数,如果满足
1);
2),
式中是中任意元素,是中任意数.
在上述定义中当为实数域或复数域时,我们也把称为上的线性泛函.
在三维几何空间中,当为常向量,而为变向量时,数量积(内积)可视为函数,容易验证是一个线性泛函.推广到一般的内积空间,记是中任意向量,是中一固定向量,易证是上的一个线性泛函.
F.Riesz考虑了以上问题在一般意义上的逆命题,对Hilbert空间上的连续线性泛函进行了一般性的刻画:
F.Riesz定理 设是Hilbert空间上的一个连续线性泛函,则必存在唯一的,使得,有.
本文将在一般意义上考虑内积空间上的线性泛函,研究在怎样的情形下,内积空间上的线性泛函才能用内积来刻画,这种刻画是否唯一,并将结论进一步推广到双线性函数的情形.
在本文中用表示内积,表示实数域,表示正整数集,表示的维数,表示范数,表示正交,表示直和,表示生成子空间.
1 预备知识及引理
定义2 是数域上的线性空间,是上的线性函数,称
为在上的零空间,简称的零空间.
容易验证,是的子空间.
定义3 和是数域上的两个线性空间,是的映射,如果满足
1);
2),
其中是中任意向量,是中任意向量,是中任意数,则称是一个双线性函数.
在定义3中,如果,我们在习惯上也称是上的双线性函数.
定义4 和是数域上的两个线性空间,为到的映射,如果
及数,有
1) ;
2) ,
则称为到的线性算子.
特别地,在定义4中,当时,就是定义
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