两个随机变量函数的分布参考.ppt

§3.3 二维随机变量函数的分布 一、离 散 型 例 2. 二、连 续 型 问题：已知(X,Y)的联合密度f(x,y),求Z=X+Y的概率密度fZ(z). 卷积公式：若X, Y相互独立，则 f(x,y) =fX(x) ·fY(y)，代入上式 从而有，Z=X+Y～N（0，2）. 例 4. 作业： 63页 18,19 第四章 随机变量的数字特征 何谓随机变量的数字特征？ 二、连续型随机变量的数学期望 四 、 数学期望的性质 性质1 E（C）= C (C为常数) 作业： 97页 1, 2, 3, 4，5，6，7 三、 随机变量函数的数学期望 1. 如果X为离散型随机变量，其概率分布为 P{ X=xk } = Pk, k =1,2,3,… 绝对收敛， E（Y）= E [ g(X) ] = 且级数 则有 下页 例5. 已知X的概率分布为  X -1 0 1 2 5 P 0.3 0.1 0.2 0.15 0.25令Y=X2 ，求E(Y)。 解：E(Y)=g(-1)*0.3+ g(0)*0.1+ g(1)*0.2+ g(2)*0.15+ g(5)*0.25 = 1*0.3+ 0*0.1+ 1*0.2+ 4*0.15+ 25*0.25 =7.35 1*0.3 1*0.2 三、 随机变量函数的数学期望 2. 如果X为连续型随机变量，其概率密度为 f(x)，且积分 绝对收敛， 解： 则有 例6．已知连续型随机变量X的概率密度，试求Y=|X|的数学期望。 下页 3. 如果(X,Y)为离散型随机向量，其联合概率分布为 P{ X=xi Y=yj} = pij i , j =1,2,3,…, 则Z=g (X,Y)的数学期望为 下页 例7. 设二维离散型随机向量(X,Y)的概率分布如下表所示,求:Z=X2+Y的期望. E(Z)=g(1,1)?0.125+g(1,2)?0.25+g(2,1)?0.5+g(2,2)?0.125 = 2?0.125 + 3?0.25 + 5?0.5 + 6?0.125 = 4.25 解: 4.如果(X,Y)为连续型随机向量，其联合概率密度为f(x,y)，则Z=g (X,Y)的数学期望为 特别 下页 例8．设二维随机向量（X，Y）的概率密度为 试求E(X)及E(XY). 解: y=2(1-x) 例9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润? 解: 设每年准备该种商品a吨, 年利润为Y (大写字母) 得到平均利润为 则利润为 下页 解: 利润为 得到平均利润为 当a= 2400时， 取到最大值，故 每年准备此种商品2400 t，可使平均 利润达到最大． 例9. 设国际市场上每年对我国某种出口农产品的需求量X (单位：t )是随机变量，它服从[1200，3000]上的均匀分布．若售出这种农产品1t，可赚2万元，但若销售不出去，则每吨需付仓库保管费1万元，问每年应准备多少吨产品才可得到最大利润? 下页 性质2 E（CX）= C E（X） (C为常数) 性质3 E（X+Y）= E（X）+E（Y） 性质4 设X，Y是两个相互独立的随机变量，则有 E（XY）= E（X）·E（Y） 推广 （1）E（X1+X2+…+Xn）= E（X1）+E（X2）+…+E（Xn） （3）若X1，X2，…，Xn相互独立， 则 E ( X1 X2 … Xn）= E(X1) E(X2) … E(Xn) （2）E（C1X1+C2X2+…+CnXn）= E(C1X1)+E(C2X2)+…+E(CnXn) = C1E (X1)+C2E(X2)+