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关于收敛序列余项估计的一种精细化方法 摘要：对某些重要的收敛序列，本文借助几何直观方法估计了它们的收敛余项，比一些现行文献中的估计更为精细，而且方法简单直观。 关键词：收敛序列；余项；Euler常数；Stirling公式 One Fine Method Estimated Which about Convergence Sequence Remainder Chang Wei (Department of Mathematics,Xiaogan University,) Abstract: To certain important convergent sequences, this article had estimated with the aid of the geometry direct-viewing method they restrain -odd item, compared to some present literature in estimate finer, moreover the method simple is direct-viewing. Key words: Convergent sequence;Reminder; Euler’s constant; Stirling Formula 0 引言与说明 Euler常数c()同圆周率、自然对数的底一样，是数学中的一个著名常数，它有多种定义方式[1-4]。而Stirling公式是数学中的常用公式，因为在理论和实际应用中（如概率统计等）常常需要估计当充分大时，的无穷大的阶数。由于两者的存在性及余项估计的一些方法有某种类似之处，因此许多文献常常一起讨论它们。 通常的Euler常数c定义为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1） 其中是Euler数列，关于其收敛性的证明，通常是应用基本不等式 　　　　　　　　　　　，　　　 　 　　（2） 证明单调递减且有界，由单调有界定理得到收敛。 相对于Euler数列而言，Stirling公式 ， 或者 （3） 的证明却相当复杂。因此，国内外一些学者近二十年来一直致力于它的基本证明（参见文献[1-4]或[11]）。 对以上数列除考虑其收敛性外，更多研究者讨论它们的收敛余项问题： 1986年，Rippon在文献[1]中用几何直观思想导致了凸函数的一个新结果。所谓Rippon的几何方法，就是利用凸函数图象的几何直观得到的一个整体的、精细的面积比较结果，其结论为： 设为下凸的、严格单调递减函数，或者为上凸的、严格单调递增函数。令 则 （4） Rippon把该结果应用于函数，一方面直接证明了Stirling公式，另一方面还得到了Euler常数c的余项估计式（详细介绍可参阅译文[11]）: 　　　　　　　　　（5） 1993年，Detemple在文献[2]中用初等面积比较方法同样巧妙的得到了Euler常数c余项的同一估计式（2），为了改进他的方法，下面将介绍Detemple的初等面积比较方法（参见译文[11]）： 注意到，因此令 ， 则。应用基本不等式 ， 即得：对成立 于是，有 即得，再结合，得 并且，即得 （6） 除此以外，国内外许多学者分别用不同的方法也给出同样的或更优的估计式，如1983年孙燮华在文献[5]中、1991年Young在文献[3]中分别给出了另一初等方法，但这些方法都不及Rippon与Detemple的几何直观方法，以至于欧阳光中在他的“近年来国外微积分(数学分析)教材介绍(上)”一文中，对Euler常数的余项估计及Stirling公式的证明评论道[９]：“这样处理的好处是让学生自己去完成证明，增加学生的学习兴趣，至少对成绩好的学生可以达到这个要求。缺点是每一步的由来并不明显，过于技巧化。但话又说回来，数学中蕴涵着许多精致有用的技巧。” 本文将揭示这种“蕴涵”。 我们的基本思路是借鉴并改进文献[7]中几何直观方法，把它应用于Euler 常数的余项估计及Stirling公式的证明中。为此，先介绍文献[7]中方法，在[7]中作者用几何直观方法证明了文献[6]中一个基本引理： 引理1[6, 7] 设，，，则 　　　 　　 （7） 证明 当，时，对于，有，从而有 ，因此，即得 ，引理1得证。 如图1，以为边的曲边梯形的面积介于两个矩形的面积之间，根