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关于幂零矩阵的几个注记 摘要：给出了幂零矩阵的一个新的性质，证明了矩阵为幂零的一个等价条件，修正与改进了近期幂零矩阵的一些结果． 关键词：幂零矩阵；向量；特征值；矩阵的迹；伴随还原阵 On several of nilpotent matrix Yang Jiao ( School of Mathematics and Statistics Xiaogan University Xiaogan Hubei ) Abstract: presents a new nilpotent matrices, proved a nilpotent matrix of equivalence conditions, modifications and improvements in some results of nilpotent matrix. Keywords: nilpotent matrix；vector；eigenvalue；the matrix trace；with reduction 1 引言：问题的提出 在2009年全国硕士研究生入学考试试卷（数学一、二、三）中有这样一道解答题： 题目[1] 设 ， （Ⅰ）求满足，的所有向量； （Ⅱ）对（Ⅰ）中的任一向量，证明：线性无关． 我们先来看看供题者提供的参考答案： 解　（Ⅰ）解方程 ， ，故有一个自由变量.令，由解得，，求特解，令，得.故 ，其中为任意常数. 解方程， ，， 故有两个自由变量.令，，由得， 令，，由得. 求特解，故,其中,为任意常数. （Ⅱ）由于行列式 ， 故向量组线性无关． 这道试题将矩阵的计算、线性方程组的求解以及向量组线性无关的证明融为一体，立意于平实处见新颖，背景公平，知能并举，考查了相应的知识点．解答完本题，笔者感觉到可以使两个线性方程组都有解，而且能使（Ⅱ）中的任何三个向量都线性无关，对于矩阵及向量的构造，是否有一些特别的要求？或者带有某种巧合？在对试题构思精密赞叹之余，我们很想知道:命题人是以什么为素材研制本题的？即试题的设计是以哪些知识材料为背景的？我们希望对该试题的的命题思路做些分析，以回答以上问题． 对试题中的矩阵，通过计算可得，但，满足该性质的矩阵称之为幂零矩阵． 定义1[2] 设，若存在正整数，使，，则称是幂零指数为的幂零矩阵，也称是幂零矩阵． 本文将把上述试题中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题，该命题可以补充为幂零矩阵的一个新性质．除此之外，本文还将对《大学数学》期刊2006年第5期“幂等和幂零阵的伴随阵的反问题”一文中，关于幂零矩阵提出的一个的论断予以否定；对《数学研究与评论》期刊中2000年第2期“Several Properties of Idempotent and Nilpotent Matrices” 一文中，关于幂零矩阵的一个主要结果给出一个简单的证明方法，并且同时推广这个结论到任何的无限域；最后还将给出矩阵为幂零的一个等价条件，借助该结论简化了一些高等代数研究生试题的证明．更重要的是，它可以帮助我们发现，在这些试题中关于“矩阵可对角化”的限制是可以取消的． 本文用表示数域，表示上的阶矩阵的集合，表示矩阵的秩，表示单位矩阵，表示的伴随矩阵． 2 几个引理 关于幂零矩阵的一些常见性质，在许多文献中都有论述，本文仅罗列如下两个基本性质，以备后文中引用，对于它们的证明及其它性质，本文不再赘述． 引理1[2]　设，是幂零矩阵的特征值全为零． 引理2[2]　设，是幂零矩阵的最小多项式为． 为了后面结论的证明，我们再建立几个引理： 引理3 设阶矩阵满足，则对使的维列向量，向量组线性无关． 证明 由引理１知，则存在维列向量，使，下面证明向量组线性无关： 设，对该等式两边以左乘之，得，故，再对等式以左乘之，得，故，同理可得，因此向量组线性无关． 引理4 设是阶矩阵，并且满足，，则， ． 证明 因为，，所以的最小多项式是，故的不变因子为，，故的若当标准型为 因此存在阶可逆矩阵，使得，这里为阶单位矩阵，经过计算得 由此得，． 引理5 设向量组线性无关，向量组如下定义： 则向量组也线性无关． 证明　把向量等式写成矩阵形式 上式右端的上三角矩阵可逆，由线性无关，即得也线性无关． 引理6[2] 如果、都是一个矩阵，则． 引理7[2] 如果是矩阵()，那么 引理8 如果是一个矩阵，时，则 （1）； （2）． 证明　（1）因为，所以存在可逆矩阵使得， 即， 若记，，则． （2）由（1）所证，记，则 　． 引理9[2] 对任何阶矩阵，有． 3　 几个注记 3.1 幂零矩阵的一个命题 在本节，我们将把引言部分题目中蕴涵的结论进行推广，给出一个一般性命题： 定理1 设是阶矩阵，是维非零列向量，如果，，并且线性方