函数近似计算的插值法插值问题的提出及 Lagrange 插值参考.ppt

华长生制作 1. 线性插值 2. 抛物线插值 3. n 次Lagrange插值 Lagrange插值公式的标准型公式: 插值基函数的性质 Lagrange插值算法特点局限性 罗尔(Rolle)定理 Lagrange中值定理 二、插值余项 满足 不会完全成立 因此, 插值多项式存在着截断误差, 那么我们怎样估 计这个截断误差呢？ 根据Rolle定理, 再由Rolle定理, 依此类推 由于 所以 因此 即 定理1. Lagrange型余项 设 则 优点：公式简洁, 理论分析方便 ? 直观； ? 对称； ?容易编程上机等。 缺点：基函数计算复杂，计算量大 ?每增加一个节点，插值多项式的所有系 数都得重算； ?计算量为 。 下一节提出的Newton插值法就是克服了上缺点。 * * 5.1 插值问题的提出 第五章 函数近似计算的插值法 插值问题的提出 插值：已知[a, b]上的函数y=f(x)在n+1个互异点处的函数值: fn ?????? f2 f1 f0 f(x) xn ?????? x2 x1 x0 x 求简单函数P(x)，使得 计算f(x)可通过计算P(x)来近似代替。如下图所示。 y x x0 x1 f0 f1 x2 f2 xi fi xi+1 fi+1 xn-1 fn-1 xn fn P(x) f(x) 一、插值问题的数学提法 这就是插值问题, (*)式为插值条件, 其插值函数的图象如图 整体误差的大小反映了插值函数的好坏. 为了使插值函数更方便在计算机上运算,一般插值函 数都使用代数多项式或有理函数. 本章讨论的就是代数插值多项式. 满足插值条件的多项式 P(x)是否存在且唯一？ 2. 若满足插值条件的P(x)存在,又如何构造出P(x); 即插值多项式的常用构造方法有哪些？ 3. 用P(x)代替f(x)的误差估计，即截断误差的估计； 对于多项式插值，我们主要讨论以下几个问题： 4. 当插值节点无限加密时，插值函数是否收敛于 f(x)。 二、代数插值多项式的存在唯一性 且满足 --------(1) 上述方程组的系数行列式为n+1阶Vandermond行列式 定理1. 由Cramer法则,线性方程组(1)有唯一解 --------(3) --------(2) 则满足插值条件 的插值多项式 存在且唯一. 虽然线性方程组(1)推出的插值多项式存在且唯一, 但通过解线性方程组(1)求插值多项式却不是好方法. 5.2 Lagrange插值多项式 第五章 函数近似计算的插值法 若通过求解线性方程组(1)来求解插值多项式 系数 , 不但计算工作量较大, 且难于得到 的简单表达式. 一、 代数多项式的构造: 通过找插值基函数的方法,得到插值多项式! 十八世纪法国数学家Lagrange对以往的插值算法进 行研究与整理，提出了易于掌握和计算的统一公式， 称为Lagrange插值公式。 它的特例是线性插值公式和抛物线插值公式。 Lagrange插值多项式 已知两个插值点及其函数值： f1 f0 f(x) x1 x0 x 插值节点 对应的函数值 求一次多项式 使得 由于方程组的系数行列式 所以，按Gramer法则，有唯一解 于是 或 (B-1） 容易验证，过点（x0，f0）与（x1，f1）直线方程就是式（B-1），如图5-3所示。 y x x0 x1 p1(x) f(x) p1(x) f(x) 误差 图5-3 已知三个插值节点及其函数值： f2 f1 f0 f(x) x2 x1 x0 x 求一个二次多项式 使得 由于该方程组的系数行列式 所以，有唯一解。即满足这样条件的二次多项式是唯一确定的。 满足上述条件，所以它就是所求的二次多项式。 容易看出 容易验证，p2(x)是过点(x0, f0)、(x1, f1)与(x2, f2)三点的抛物线，如图5-4所示。 y x x1 x0 x2 p2(x) f(x) 图5-4 f0 f1 f2 已知 n+1 个插值节点及其函数值： fn ?????? f2 f1 f0 f(x) xn ?????? x2 x1 x0 x 插值节点 相应的函数值 求次数不超过 n 的多项式Pn(x) 。 使得 根据线性空间的理论, 并且形式不是唯一的 且在不同的基下有不同的形式 且满足插值条件: n+