函数的联系性连续函数的概念参考.ppt

一、函数在一点的连续性 三、区间上的连续函数 §2 连续函数的性质 一、连续函数的局部性质 在区间 与区间 上分别一致连续, 但在 区间 [1, 3] 上不连续, 当然也不一致连续. 例11 设 上连续, 并且 证明 上一致连续. 证 因为 , 所以对任意的正数 存在 又 上连续, 故由定理4.9可知 f (x) 上一致连续. 因此对上述?，存在正数 使对任意 只要 , 必有 现对任何 讨论如下. 情形2. 注意到 所以若情形1 不成立, 必然有 于是 应用定理4.5,就得到所 (*)式相应的结论仍旧是成立的. 则有 改为 需要的结论. 事实上,只要补充定义（或者重新定义） 上述(1)和(2)究竟有什么本质的区别呢? 请读者作 例1 解 合，所以 出进一步的讨论. 例2 解 例3 解 所以 均有 使得对一切 存在 , , 0 D x D x ? ? 在本节中将研究 f 在 二、闭区间上连续函数的性质 定义1 若 点, 的最大值不存在,最小值为零.注意: 既无最大值,又无最小值. 定理4.6（最大、最小值定理） 例如,符号函数 的最大值为1,最小值为-1; 的最大值为1,最小值为-1;函数 (其上确界为1, 下确界为-1 ) 这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的 推论 这是因为由定理4.6 可知, 值, 从而有上界与下界,于是 f (x) 在[a, b] 上是有 虽然也是连续函数,但是 内涵,在今后的学习中有很广泛的应用. 界的. 这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性 定理4.7（介值性定理） 上连续, 则(至少)存在一点 质有着根本的区别. 从几何上看,当连续曲线 从水平直线 的一侧穿到另一侧时, 两者至少有一个交点. 推论（根的存在性定理） 应当注意, 此推论与定理4.7是等价的. 于是, 只要 则至少存在一点 使 下面用确界定理来证明上述推论, 大家要注意学习 证明了推论, 也就完成了定理4.7 证明. 确界定理的使用方法. (E为图中x 轴上的红 证 不妨设 并设 零点. 证明如下： 的最大值就是函数的 线部分)从几何上看, E 因为 所以 又 E 是有界的, 故由确 我们来否定下面两种情形: 1. 由 f (x)在点 是 连续的, 根据保号性, 存在 界定理, 存在，显然 2. 同样根据保号性, 同时由 x0 = sup E , 对上述d , 存在 排除了上面两种情形后, 就推得 由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下 下面再举一些应用介值性定理的例题. 设 在 上连续, 那么它的最大值 M 与最 结论: 小值 m 存在, 并且 证 先证存在性： 由极限的保号 使 使得 (读作 r 的 n 次算术根). 例3 则存在唯一的正数 连续， 我们只需证明 严格递增 即可. 事实上， 即 例4 求证: 再证唯一性: 证 即 任意的实数 r, f (x)= r 至多有有限个解. 证明： 证 与 的解至多为有限个. 例5 设 在区间 内满足介值性,并且对于 在 内连续. 1. 由介值性条件不难证明： 即 2. 如果解为空集, 任意取 证 不妨设 f (x) 严格增, 那么 就是反 上连续, 且　　　与 f (x) 有相同的单调性. 定理4.8 若函数 f (x) 在 上严格单调且连续, 则反函数 三、反函数的连续性 函数　　　　　的定义域. 1. (证明见定 理1.2 ). 2. (如图所示) ①每一 ②对应 ③任给 ⑤取 ④对应 请读者类似地证明该函数在端点的连续性. 这就说明了 上连续. 对于任意的正数 且严格增. 关于其它的反三角函数 均可得到在定义域内连续的结论. 例6 因此它的反函数 上也是连续 严格增. 例7 连续且严 在　　　上亦为连续且 格增, 那么其反函数 在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要 只要　　　　　　就有 四、一致连续性 任意的正数 , 使得对任意 ,存在 定义2. 设 为定义在区间I上的函数, 如果对于 则称 在区间I上一致连续. 的概念. 首先来看两个例题. 例8 证 证 首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在区 例9 但仍有 确实不是一致 连续的. 总有 间I上不一致连续的定义： 试问, 函数 在区间I上一致连续与 在区 间I上连续的区别究竟在哪里？ 仅与 有关. 对于任意正数? , 所得 答:(1) 首先, 对于 如果