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竞赛讲座07 --面积问题和面积方法 基础知识 1．面积公式 由于平面上的凸多边形都可以分割成若干三角形，故在面积公式中最基本的是三角形的面积公式．它形式多样，应在不同场合下选择最佳形式使用． 设△，分别为角的对边，为的高，、分别为△外接圆、内切圆的半径，．则△的面积有如下公式： （1）； （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 2．面积定理 （1）一个图形的面积等于它的各部分面积这和； （2）两个全等形的面积相等； （3）等底等高的三角形、平行四边形、梯形（梯形等底应理解为两底和相等）的面积相等； （4）等底（或等高）的三角形、平行四边形、梯形的面积的比等于其所对应的高（或底）的比； （5）两个相似三角形的面积的比等于相似比的平方； （6）共边比例定理：若△和△的公共边所在直线与直线交于，则； （7）共角比例定理：在△和△中，若或，则． 3．张角定理：如图，由点出发的三条射线，设，，，则三点共线的充要条件是： ． 例题分析 例1．梯形的对角线相交于，且，，求 例2．在凸五边形中，设，求此五边形的面积． 例3．是△内一点，连结并延长与分别交于，△、△、△的面积分别为40，30，35，求△的面积． 例4．分别是△的边和上的点，且，求△的面积的最大值． 例5．过△内一点引三边的平行线∥，∥，∥，点都在△的边上，表示六边形的面积，表示 的面积．求证：． 例6．在直角△中，是斜边上的高，过△的内心与△的内心的直线分别交边和于和，△和△的面积分别记为和．求证：． 例7．锐角三角形中，角等分线与三角形的外接圆交于一点，点、与此类似，直线与、两角的外角平分线将于一点，点、与此类似．求证： （1）三角形的面积是六边形的面积的二倍； （2）三角形的面积至少是三角形的四倍． 例8．在△中，将其周长三等分，且在边上，求证：． 例9．在锐角△的边边上有两点、，满足，作，（是垂足），延长交△的外接圆于点，证明四边形与△的面积相等． 三．面积的等积变换 等积变换是处理有关面积问题的重要方法之一，它的特点是利用间面积相等而进行相互转换证（解）题． 例10．凸六边形内接于⊙，且，，求此六边形的面积． 例11．已知的三边，现在上取，在延长线上截取，在上截取，求证：． 例12．在内，且∽，求征： 例13．在的三边上分别取点，使，，连相交得三角形，已知三角形的面积为13，求三角形的面积． 例14．为圆内接四边形的边的中点，于，于，于，求证：平分． 例15．已知边长为的，过其内心任作一直线分别交于点，求证：． 例16．正△正△，，，，， ，．求证：． 例17．在正内任取一点，设点关于三边的对称点分别为，则相交于一点． 例18．已知是正六边形的两条对角线，点分别内分，且使，如果三点共线，试求的值． 例19．设在凸四边形中，直线以为直径的圆相切，求证：当且仅当∥时，直线与以为直径的圆相切． 训练题 1．设的面积为10，分别是边上的点，且若，求的面积． 2．过内一点作三条平行于三边的直线，这三条直线将分成六部份，其中，三部份为三角形，其面积为，求三角形的面积． 3．在的三边上分别取不与端点重合的三点，求证：，中至少有一个的面积不大于的面积的． 4．锐角的顶角的平分线交边于，又交三角形的外接圆于，过作和边的垂线和,垂足是，求证：四边形的面积等于的 面积． 5．在等腰直角三角形的斜边上取一点，使，作交于，求证：． 6．三条直线互相平行，在的两侧，且间的距离为，间的距离为1，若正的三个顶点分别在上，求正的边长． 7．已知及其内任一点，直线分别交对边于（），证明：在这三个值中，至少有一个不大于2，并且至少有一个不小于2． 8．点和分别在的边和上，点和将线段分为三等分，直线和分别与边相交于点和，证明：． 9．已知P是内一点，延长分别交对边于，其中，，且，求之值． 10．过点P作四条射线与直线分别交于和，求证： ． 11．四边形的两对对边的延长线分别交，过作直线与对角线的延长线分别，求证：． 12．为的重心，过作直线交于，求证：． 竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．　 设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：。 【分析】CEF截△AB