吕林根解析几何（第四版）（完整课件）1.7.ppt

§1.7 两向量的数量积 数量积的运算律 直角坐标系下数量积的坐标运算 空间两点距离 向量的方向余弦 两向量的交角 第一章 向量与坐标 §1.1 向量的概念 §1.2 向量的加法 §1.3 数量乘向量 §1.4 向量的线性 关系与分解 §1.5 标架与坐标 §1.6 向量在轴上的射影 §1.7 两向量的数量积 §1.8 两向量的向量积 §1.9 三向量的混合积 §1.10 三向量的双重向量积 实例 启示:两向量作这样的运算,结果是一个数量. 一物体在常力 作用下沿直线从点 移动到点 ,以表示位移 ,则力所作的功为 (其中 为 与 的夹角) 定义1.7.1 两向量 和 的模和它们夹角的余弦的乘积叫做 和 的数量积,记为 或 ,即 注1 由定理1.6.1, =射影 , =射影 ,则 射影 射影 . 注2 由注1有, =射影 . 注3 定理1.7.1 证明: 若 ,则 . 如果 或 ,则 .如果 定理1.7.2 数量积满足下面的运算规律 (1) 交换律 (2) 结合律 (3) 分配律 (4) 证明: 若 中有 ,则(1)~(4)显然成立. 若 中没有 ,则(1)和(4)显然成立. (2) 若 ,则等式成立.若 ,则 射影 ( 射影 ) ( 射影 ) . 又 所以 (3) 射影 (射影 射影 ) 射影 射影 推论 这说明向量的数量积遵循多项式乘法. 例1 证明: 平行四边形对角线的平方和等于各边平方和. 证明: 如图, 中, 设 ,则有 ,所以 所以 ,即 例2 证明: 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直, 那么它和平面内的任何直线都垂直,即垂直平面. 证明: 设直线 与面 内的两相交直线 垂直, 为面 内的任一直线,如图. 下证 .在 上分 别取非零向量 ,则 由于 相交,即 不共线, 由 共面,知存在 ,使 则 所以 ,即 . 例3 证明:三角形的三高交于一点. 证明: 中,高 交 于点 ,下证 .设 , .则 由于 ,则 所以 即 .所以 所以三高交于一点. 定理1.7.3 设 则 证明: 而 是两两垂直的单位向量,则有 所以 推论 设 ,则 由 ,这样有 定理1.7.4 设 ,则 证明: 由定理1.7.3,有 所以 定理1.7.5 空间两点 间的距离为 证明: 因为 所以 向量的方向角: 向量与坐标轴所成的角. 向量的方向余弦:方向角的余弦. 定理1.7.6 非零向量 的方向余弦是 且 ,其中 分别为向量 与 轴, 轴, 轴的交角. 证明: 因为 ,且 ,则 同理可证其余两式. 注:由该定理知模和方向余弦可决定向量. 定理1.7.7 设非零向量 , ,则 证明: 由 立得结论. 推论 与 互相垂直的充要条件是 例4 已经三点 ,且 ,求(1) 与 的夹角,(2) 在 上的射影. 解: (1)由 ,则