复变函数 ch3复变函数积分.ppt

第三章 复变函数的积分 §1 复变函数积分的概念 关于定义的说明: 2.积分的性质 2.积分存在的条件及计算法 §2 柯西定理 例1. 例2. 2. 原函数与不定积分 证： 定义1 3.复合闭路定理 证明： * 目录 上页 下页 返回 结束 * 1. 积分的定义 定义 和在局部弧段上任意取点, 极限 为A终点为B的一条光滑的有向曲线. 设函数w =f (z)定义在区域D内, 都存在且唯一， 则称此极限为函数 记作 沿曲线弧C的积分. 若对C 的任意分割 C为在区域D内起点 (4) 一般不能把 写成 的形式. (1) 用 表示 沿着曲线C的负向的积分. (2) 沿着闭曲线C的积分记作 (3) 如果C是x轴上的区间 而 则 例1. 证明: 证明 其中 C 为正向圆周： 利用积分估值性质，有 定理: C 的参数方程为 则曲线积分存在, 且有 连续, 在有向光滑弧 C 上有定义且 设函数 例2. 解: 计算 的正向圆周， 为整数. 其中 C 为以 中心，为半径 例3. 解: (1) 积分路径的参数方程为 计算 其中C为: (1) 从原点到点1+i的直线段; (2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段; y=x y=x (2) 积分路径由两段直线段构成 x 轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 例4. 解: (1) 积分路径的参数方程为 计算 其中C为: (1) 从原点到点1+i的直线段; (2) 从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段; y=x y=x (2) 积分路径由两段直线段构成 x 轴上直线段的参数方程为 1到1+i直线段的参数方程为 B 内处处解析, 定理1 任何一条封闭曲线 C 的积分 则 f (z) 在B内 (黎曼证明，把条件加强：假设 连续 .) 证明： 假设在单连通域 B 内, 解析, 连续. 1.柯西定理 如果函数 f (z) 在单连通域 为零: 因为 所以 在B 内连续， 且满足C-R条件. 任取B内闭曲线C,则积分 由格林公式得 所以 函数 f (z)处处解析 定理2 在单连通域 B 内， 与路径无关. 函数 f (z) 定理3 B为C的内部， C 为一条封闭曲线, 在B内解析， 在 上连续， 则 解： 由柯西定理, 有 计算积分 因为函数 在 内解析， 解： 由柯西定理, 有 计算积分 因为函数 都在 上解析， 和 如果函数 f (z)在单连通域 定理4 与路径无关. B 内处处解析, 则积分 定理5 处处解析, 如果 f (z)在单连通域B内 则函数 F (z) = f (z) 必为B内的一个解析函数, 并且 利用导数的定义来证. 由于积分与路线无关, 由积分的估值性质, [证毕] 如果在区域 B 内 在区域 B 内的原函数. F (z) = f (z) , 则称 F(z) 为 f (z) 在区域 B上的原函数全体 不定积分, 记作 定义2 在 B上的 称为 定理6 如果 f (z) 在单连通域 B 内处处解析, 的一个原函数, 则 这里z0, z1为域 B 内的两点. G(z)为 f (z) 例3. 解: 计算积分 定理7 是在 C 内部的简单闭曲线, 且 设C为多连通域 D 内的 互不包含也互不相交, 另外以 C, C1, C2, ... , Cn 为边界的区域 如果 f (z) 在D内解析, 则 一条简单闭曲线, C1, C2, ... , Cn 全含于D. * 目录 上页 下页 返回 结束